Раздел I. Введение в анализ — § 2

Демидович § 2. Теория последовательностей

Условия, ответы и подробные решения задач 41–150

Задачи 41–150

110 из 110 с разбором

Свойства сходящихся последовательностей

89–95

Задача 91

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=a,\lim_{n\to\infty}x_n=a,тоlim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|.

Опирается на

Задача 92

Если xn→ax_n\to a, то что можно сказать о пределеlim⁡n→∞xn+1xn?\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}?

Опирается на

Задача 93

Доказать, что всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Задача 94

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Опирается на

Задача 95

Доказать, что числовая последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), стремящаяся к +∞+\infty, обязательно достигает своей нижней грани.

Наибольшие и наименьшие члены последовательностей

96–100
Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 96

xn=n22n.x_n=\frac{n^2}{2^n}.

Задача 97

xn=n100+n.x_n=\frac{\sqrt n}{100+n}.

Задача 98

xn=1000nn!.x_n=\frac{1000^n}{n!}.
Найти наименьший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 99

xn=n2−9n−100.x_n=n^2-9n-100.

Задача 100

xn=n+100n.x_n=n+\frac{100}{n}.

Инфимум, супремум, нижний и верхний пределы

101–110
Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 101

а) xn=1−1n;б) xn=(−1)n−1(2+3n).\text{а) }x_n=1-\frac1n;
\qquad
\text{б) }x_n=(-1)^{n-1}\left(2+\frac3n\right).

Опирается на

Задача 102

xn=(−1)nn+1+(−1)n2.x_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1+(-1)^n}{2}.

Опирается на

Задача 103

xn=1+nn+1cos⁡nπ2.x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos\frac{n\pi}{2}.

Задача 104

xn=1+2(−1)n+1+3⋅(−1)n(n−1)2.x_n=1+2(-1)^{n+1}+3\cdot(-1)^{\frac{n(n-1)}2}.

Задача 105

xn=n−1n+1cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n-1}{n+1}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Задача 106

xn=(−1)nn.x_n=(-1)^n n.

Задача 107

xn=−n[2+(−1)n].x_n=-n\bigl[2+(-1)^n\bigr].

Задача 108

xn=n(−1)n.x_n=n^{(-1)^n}.

Задача 109

xn=1+nsin⁡nπ2.x_n=1+n\sin\frac{n\pi}{2}.

Задача 110

xn=1n−10,2.x_n=\frac1{n-10{,}2}.

Нижний и верхний пределы

111–115
Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 111

xn=n21+n2cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n^2}{1+n^2}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Задача 112

xn=(1+1n)n⋅(−1)n+sin⁡nπ4.x_n=\left(1+\frac1n\right)^n\cdot(-1)^n+\sin\frac{n\pi}{4}.

Опирается на ,

Задача 113

xn=nn+1sin⁡2nπ4.x_n=\frac{n}{n+1}\sin^2\frac{n\pi}{4}.

Задача 114

xn=1+2n(−1)nn.x_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}.

Опирается на ,

Задача 115

xn=cos⁡n2nπ3.x_n=\cos^n\frac{2n\pi}{3}.

Частичные пределы

116–124
Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 116

12, 12, 14, 34, 18, 78,…,12n, 2n−12n,….\frac12,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac34,\ \frac18,\ \frac78,\ldots,
\frac1{2^n},\ \frac{2^n-1}{2^n},\ldots .

Опирается на

Задача 117

1, 12, 1+12, 13, 1+13, 12+13, 14, 1+14, 12+14, 13+14, 15,…,1,\ \frac12,\ 1+\frac12,\ \frac13,\ 1+\frac13,\ \frac12+\frac13,
\ \frac14,\ 1+\frac14,\ \frac12+\frac14,\ \frac13+\frac14,
\ \frac15,\ldots,1n, 1+1n, 12+1n,…,1n−1+1n, 1n+1,….\frac1n,\ 1+\frac1n,\ \frac12+\frac1n,\ldots,
\frac1{n-1}+\frac1n,\ \frac1{n+1},\ldots .

Опирается на

Задача 118

12, 13, 23, 14, 24, 34, 15, 25, 35, 45,….\frac12,\ \frac13,\ \frac23,\ \frac14,\ \frac24,\ \frac34,
\ \frac15,\ \frac25,\ \frac35,\ \frac45,\ldots .

Задача 119

xn=3(1−1n)+2(−1)n.x_n=3\left(1-\frac1n\right)+2(-1)^n.

Опирается на

Задача 120

xn=12[(a+b)+(−1)n(a−b)].x_n=\frac12\bigl[(a+b)+(-1)^n(a-b)\bigr].

Задача 121

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числаa1,a2,…,ap.a_1,a_2,\ldots,a_p.

Задача 122

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательностиa1,a2,…,an,…a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldotsявляются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Задача 123

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;

б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;

в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;

г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Задача 124

Доказать, что последовательности xnx_n иyn=xnnny_n=x_n\sqrt[n]{n}имеют одни и те же частичные пределы.

Подпоследовательности и действия над последовательностями

125–130

Задача 125

Доказать, что из ограниченной последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность xpnx_{p_n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Задача 126

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) не ограничена, то существует подпоследовательность xpnx_{p_n} такая, чтоlim⁡n→∞xpn=∞.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\infty.

Задача 127

Пусть последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, а последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:а) xn+yn;б) xnyn?\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_n?Привести соответствующие примеры.

Задача 128

Пусть последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:а) xn+yn;б) xnyn\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_nтакже расходятся?

Задача 129

Пусть lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, чтоlim⁡n→∞xnyn=0?\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0?Привести соответствующие примеры.

Задача 130

Пустьlim⁡n→∞xnyn=0.\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0.Следует ли отсюда, что либо lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, либо lim⁡n→∞yn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=0?

Рассмотреть пример:xn=1+(−1)n2,yn=1−(−1)n2(n=1,2,…).x_n=\frac{1+(-1)^n}{2},\qquad y_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\qquad(n=1,2,\ldots).

Действия с верхними и нижними пределами

131–135

Задача 131

Доказать, что:а) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n+\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_n+y_n)
\leq\varliminf x_n+\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n+\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_n+y_n)
\leq\varlimsup x_n+\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Равенства и неравенства с бесконечными гранями рассматриваются только тогда, когда все входящие в них суммы или произведения определены.

Задача 132

Пусть xn≥0x_n\geq0 и yn≥0y_n\geq0. Доказать, что:а) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_ny_n)
\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_ny_n)
\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Равенства и неравенства с бесконечными гранями рассматриваются только тогда, когда все входящие в них суммы или произведения определены.

Задача 133

Доказать, что если lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n существует, то, какова бы ни была последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), имеем:а) lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn;\text{а) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_n;б) lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn≥0).\text{б) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
\qquad(x_n\geq0).В пункте а) предел xnx_n конечен; в пункте б) дополнительно предполагается, что произведение в правой части определено.

Задача 134

Доказать, что последовательность xnx_n сходится, если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий.

а) Для любой последовательности yny_n имеет место равенство:lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_nб) xn≥0x_n\ge0, и для любой последовательности yny_n имеет место равенство:lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn.\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
.

Задача 135

Доказать, что если xn>0x_n>0 иlim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞1xn=1,\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot
\varlimsup_{n\to\infty}\frac1{x_n}=1,то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Теоремы о пределах последовательностей

136–142

Задача 136

Доказать, что если последовательность xnx_n ограничена иlim⁡n→∞(xn+1−xn)=0,\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0,то любое число отрезка[l,L],l=lim‾⁡n→∞xn,L=lim‾⁡n→∞xn,[l,L],
\qquad
l=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
L=\varlimsup_{n\to\infty}x_n,является частичным пределом последовательности.

Задача 137

Пусть числовая последовательность x1,x2,…,xn,…x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots удовлетворяет условию0≤xm+n≤xm+xn(m,n=1,2,…).0\le x_{m+n}\le x_m+x_n\qquad(m,n=1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xnn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} существует.

Задача 138

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то последовательность средних арифметическихξn=1n(x1+x2+⋯+xn)(n=1,2,…)\xi_n=\frac1n(x_1+x_2+\cdots+x_n)\qquad(n=1,2,\ldots)также сходится иlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.Обратное утверждение неверно: построить пример.

Задача 139

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=+∞,\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty,тоlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=+∞.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=+\infty.

Задача 140

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится и xn>0x_n>0, тоlim⁡n→∞x1x2⋯xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Задачи 51–100 из 110