Раздел I. Введение в анализ — § 2

Демидович § 2. Теория последовательностей

Условия, ответы и подробные решения задач 41–150

Задачи 41–150

110 из 110 с разбором

Свойства сходящихся последовательностей

89–95

Задача 91

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=a,\lim_{n\to\infty}x_n=a,тоlim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|.

Опирается на задачу 21

Задача 92

Если xn→ax_n\to a, то что можно сказать о пределеlim⁡n→∞xn+1xn?\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}?

Опирается на задачу 89

Задача 93

Доказать, что всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Задача 94

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Опирается на задачу 93

Задача 95

Доказать, что числовая последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), стремящаяся к +∞+\infty, обязательно достигает своей нижней грани.

Наибольшие и наименьшие члены последовательностей

96–100
Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 96

xn=n22n.x_n=\frac{n^2}{2^n}.

Задача 97

xn=n100+n.x_n=\frac{\sqrt n}{100+n}.

Задача 98

xn=1000nn!.x_n=\frac{1000^n}{n!}.
Найти наименьший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 99

xn=n2−9n−100.x_n=n^2-9n-100.

Задача 100

xn=n+100n.x_n=n+\frac{100}{n}.

Инфимум, супремум, нижний и верхний пределы

101–110
Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 101

а) xn=1−1n;б) xn=(−1)n−1(2+3n).\text{а) }x_n=1-\frac1n;
\qquad
\text{б) }x_n=(-1)^{n-1}\left(2+\frac3n\right).

Опирается на задачу 89

Задача 102

xn=(−1)nn+1+(−1)n2.x_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1+(-1)^n}{2}.

Опирается на задачу 89

Задача 103

xn=1+nn+1cos⁡nπ2.x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos\frac{n\pi}{2}.

Задача 104

xn=1+2(−1)n+1+3⋅(−1)n(n−1)2.x_n=1+2(-1)^{n+1}+3\cdot(-1)^{\frac{n(n-1)}2}.

Задача 105

xn=n−1n+1cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n-1}{n+1}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Задача 106

xn=(−1)nn.x_n=(-1)^n n.

Задача 107

xn=−n[2+(−1)n].x_n=-n\bigl[2+(-1)^n\bigr].

Задача 108

xn=n(−1)n.x_n=n^{(-1)^n}.

Задача 109

xn=1+nsin⁡nπ2.x_n=1+n\sin\frac{n\pi}{2}.

Задача 110

xn=1n−10,2.x_n=\frac1{n-10{,}2}.

Нижний и верхний пределы

111–115
Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 111

xn=n21+n2cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n^2}{1+n^2}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Задача 112

xn=(1+1n)n⋅(−1)n+sin⁡nπ4.x_n=\left(1+\frac1n\right)^n\cdot(-1)^n+\sin\frac{n\pi}{4}.

Опирается на задачу 69, задачу 89

Задача 113

xn=nn+1sin⁡2nπ4.x_n=\frac{n}{n+1}\sin^2\frac{n\pi}{4}.

Задача 114

xn=1+2n(−1)nn.x_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}.

Опирается на задачу 63, задачу 89

Задача 115

xn=cos⁡n2nπ3.x_n=\cos^n\frac{2n\pi}{3}.

Частичные пределы

116–124
Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 116

12, 12, 14, 34, 18, 78,…,12n, 2n−12n,….\frac12,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac34,\ \frac18,\ \frac78,\ldots,
\frac1{2^n},\ \frac{2^n-1}{2^n},\ldots .

Опирается на задачу 89

Задача 117

1, 12, 1+12, 13, 1+13, 12+13, 14, 1+14, 12+14, 13+14, 15,…,1,\ \frac12,\ 1+\frac12,\ \frac13,\ 1+\frac13,\ \frac12+\frac13,
\ \frac14,\ 1+\frac14,\ \frac12+\frac14,\ \frac13+\frac14,
\ \frac15,\ldots,1n, 1+1n, 12+1n,…,1n−1+1n, 1n+1,….\frac1n,\ 1+\frac1n,\ \frac12+\frac1n,\ldots,
\frac1{n-1}+\frac1n,\ \frac1{n+1},\ldots .

Опирается на задачу 89

Задача 118

12, 13, 23, 14, 24, 34, 15, 25, 35, 45,….\frac12,\ \frac13,\ \frac23,\ \frac14,\ \frac24,\ \frac34,
\ \frac15,\ \frac25,\ \frac35,\ \frac45,\ldots .

Задача 119

xn=3(1−1n)+2(−1)n.x_n=3\left(1-\frac1n\right)+2(-1)^n.

Опирается на задачу 89

Задача 120

xn=12[(a+b)+(−1)n(a−b)].x_n=\frac12\bigl[(a+b)+(-1)^n(a-b)\bigr].

Задача 121

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числаa1,a2,…,ap.a_1,a_2,\ldots,a_p.

Задача 122

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательностиa1,a2,…,an,…a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldotsявляются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Задача 123

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;

б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;

в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;

г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Задача 124

Доказать, что последовательности xnx_n иyn=xnnny_n=x_n\sqrt[n]{n}имеют одни и те же частичные пределы.

Подпоследовательности и действия над последовательностями

125–130

Задача 125

Доказать, что из ограниченной последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность xpnx_{p_n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Задача 126

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) не ограничена, то существует подпоследовательность xpnx_{p_n} такая, чтоlim⁡n→∞xpn=∞.\lim_{n\to\infty}x_{p_n}=\infty.

Задача 127

Пусть последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, а последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:а) xn+yn;б) xnyn?\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_n?Привести соответствующие примеры.

Задача 128

Пусть последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:а) xn+yn;б) xnyn\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_nтакже расходятся?

Задача 129

Пусть lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, чтоlim⁡n→∞xnyn=0?\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0?Привести соответствующие примеры.

Задача 130

Пустьlim⁡n→∞xnyn=0.\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0.Следует ли отсюда, что либо lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, либо lim⁡n→∞yn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=0?

Рассмотреть пример:xn=1+(−1)n2,yn=1−(−1)n2(n=1,2,…).x_n=\frac{1+(-1)^n}{2},\qquad y_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\qquad(n=1,2,\ldots).

Действия с верхними и нижними пределами

131–135

Задача 131

Доказать, что:а) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n+\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_n+y_n)
\leq\varliminf x_n+\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n+\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_n+y_n)
\leq\varlimsup x_n+\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Задача 132

Пусть xn≥0x_n\geq0 и yn≥0y_n\geq0. Доказать, что:а) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_ny_n)
\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_ny_n)
\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Задача 133

Доказать, что если lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n существует, то, какова бы ни была последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), имеем:а) lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn;\text{а) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_n;б) lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn≥0).\text{б) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
\qquad(x_n\geq0).

Задача 134

Доказать, что если для некоторой последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), какова бы ни была последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), имеет место по меньшей мере одно из равенств:а) lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\text{а) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_nилиб) lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn≥0),\text{б) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
\qquad(x_n\geq0),то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Задача 135

Доказать, что если xn>0x_n>0 иlim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞1xn=1,\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot
\varlimsup_{n\to\infty}\frac1{x_n}=1,то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Теоремы о пределах последовательностей

136–142

Задача 136

Доказать, что если последовательность xnx_n ограничена иlim⁡n→∞(xn+1−xn)=0,\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=0,то любое число отрезка[l,L],l=lim‾⁡n→∞xn,L=lim‾⁡n→∞xn,[l,L],
\qquad
l=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
L=\varlimsup_{n\to\infty}x_n,является частичным пределом последовательности.

Задача 137

Пусть числовая последовательность x1,x2,…,xn,…x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots удовлетворяет условию0≤xm+n≤xm+xn(m,n=1,2,…).0\le x_{m+n}\le x_m+x_n\qquad(m,n=1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xnn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} существует.

Задача 138

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то последовательность средних арифметическихξn=1n(x1+x2+⋯+xn)(n=1,2,…)\xi_n=\frac1n(x_1+x_2+\cdots+x_n)\qquad(n=1,2,\ldots)также сходится иlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.Обратное утверждение неверно: построить пример.

Задача 139

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=+∞,\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty,тоlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=+∞.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=+\infty.

Задача 140

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится и xn>0x_n>0, тоlim⁡n→∞x1x2⋯xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Задачи 51–100 из 110