Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 124

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 124

Доказать, что последовательности xnx_n иyn=xnnny_n=x_n\sqrt[n]{n}имеют одни и те же частичные пределы.

Доказательство

Известно, чтоnn→1.\sqrt[n]{n}\to1.Пусть aa — частичный предел последовательности xnx_n. Тогда существует подпоследовательность xnkx_{n_k} такая, чтоxnk→a.x_{n_k}\to a.Для соответствующей подпоследовательности ynky_{n_k} имеемynk=xnknknk→a⋅1=a.y_{n_k}=x_{n_k}\sqrt[n_k]{n_k}\to a\cdot1=a.Значит, aa является частичным пределом последовательности yny_n.

Обратно, пустьynk→a.y_{n_k}\to a.Так какxnk=ynknknkx_{n_k}=\frac{y_{n_k}}{\sqrt[n_k]{n_k}}иnknk→1,\sqrt[n_k]{n_k}\to1,тоxnk→a.x_{n_k}\to a.Следовательно, aa является частичным пределом последовательности xnx_n.

Таким образом, последовательности xnx_n и yny_n имеют одни и те же частичные пределы.

Это верно и для бесконечных частичных пределов. Начиная с некоторого номера 12<nn<2\frac{1}{2}<\sqrt[n]{n}<2. Умножение или деление на такой положительный множитель сохраняет стремление к +∞+\infty и к −∞-\infty: знак остаётся прежним, а модуль изменяется не более чем вдвое.

Что и требовалось доказать

Демидович № 124 — решение | Высшая математика — Профиматика