Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 122

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 122

Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последовательностиa1,a2,…,an,…a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldotsявляются ее частичными пределами. Какие еще частичные пределы обязательно имеет построенная последовательность?

Решение

Идея

Построим последовательность, выписывая члены ana_n увеличивающимися блоками:a1;a1,a2;a1,a2,a3;a1,a2,a3,a4;…a_1;\qquad
a_1,a_2;\qquad
a_1,a_2,a_3;\qquad
a_1,a_2,a_3,a_4;\qquad\dotsКаждый член ama_m встречается в этой последовательности бесконечно много раз, поэтому из членов, равных ama_m, можно выделить постоянную подпоследовательность. Следовательно, каждое ama_m является частичным пределом.
Кроме того, любой частичный предел исходной последовательности {an}\{a_n\} также является частичным пределом построенной последовательности. Действительно, еслиank→a,a_{n_k}\to a,то в построенной последовательности можно выбрать эти же значения anka_{n_k} с возрастающими номерами, и полученная подпоследовательность также будет стремиться к aa.

Проверка

Других частичных пределов, кроме самих чисел ama_m и частичных пределов последовательности {an}\{a_n\}, нет. В самом деле, пусть некоторая подпоследовательность построенной последовательности сходится к aa. Если среди ее членов одно и то же ama_m встречается бесконечно много раз, то a=ama=a_m. Если же встречается бесконечно много различных ama_m, то из нее можно выделить подпоследовательностьam1,am2,…,m1<m2<…,a_{m_1},a_{m_2},\ldots,\qquad m_1<m_2<\ldots,сходящуюся к aa. Значит, aa является частичным пределом исходной последовательности.
Демидович № 122 — решение