Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 138

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 138

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, то последовательность средних арифметическихξn=1n(x1+x2+⋯+xn)(n=1,2,…)\xi_n=\frac1n(x_1+x_2+\cdots+x_n)\qquad(n=1,2,\ldots)также сходится иlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=\lim_{n\to\infty}x_n.Обратное утверждение неверно: построить пример.

Доказательство

Идея

Пусть lim⁡n→∞xn=a\lim_{n\to\infty}x_n=a. Докажем, что средние арифметические ξn\xi_n имеют тот же предел.
  1. 1
    Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Найдется номер NN такой, что при n>Nn>N∣xn−a∣<ε2.|x_n-a|<\frac{\varepsilon}{2}.Разность ξn−a\xi_n-a удобно разбить на начальную фиксированную часть и оставшийся хвост:ξn−a=1n∑i=1N(xi−a)+1n∑i=N+1n(xi−a).\xi_n-a
    =
    \frac1n\sum_{i=1}^{N}(x_i-a)
    +
    \frac1n\sum_{i=N+1}^{n}(x_i-a).
  2. 2
    Обозначим C=∑i=1N(xi−a)C=\sum_{i=1}^{N}(x_i-a). Это постоянное число, поэтому Cn→0\frac{C}{n}\to0 и для всех достаточно больших nn∣Cn∣<ε2.\left|\frac{C}{n}\right|<\frac{\varepsilon}{2}.Для второй суммы при тех же больших nn∣1n∑i=N+1n(xi−a)∣≤1n∑i=N+1n∣xi−a∣<n−Nn⋅ε2<ε2.\left|\frac1n\sum_{i=N+1}^{n}(x_i-a)\right|
    \leq
    \frac1n\sum_{i=N+1}^{n}|x_i-a|
    <
    \frac{n-N}{n}\cdot\frac{\varepsilon}{2}
    <
    \frac{\varepsilon}{2}.    Таким образом,∣ξn−a∣≤∣Cn∣+∣1n∑i=N+1n(xi−a)∣<ε,|\xi_n-a|
    \leq
    \left|\frac{C}{n}\right|
    +
    \left|\frac1n\sum_{i=N+1}^{n}(x_i-a)\right|
    <
    \varepsilon,    то есть ξn→a\xi_n\to a.

    Пример, когда обратное неверно.

Проверка

Возьмем xn=(−1)nx_n=(-1)^n. Эта последовательность расходится, поскольку ее члены попеременно равны −1-1 и 11. Сумма первых nn членов равна 00 при четном nn и −1-1 при нечетном, поэтому ξn=0\xi_n=0 для четных nn и ξn=−1n\xi_n=-\frac1n для нечетных. В обоих случаях ξn→0\xi_n\to0. Значит, средние арифметические могут сходиться, даже если сама последовательность предела не имеет.

Что и требовалось доказать