Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 132

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 132

Пусть xn≥0x_n\geq0 и yn≥0y_n\geq0. Доказать, что:а) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_ny_n)
\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_ny_n)
\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.
Равенства и неравенства с бесконечными гранями рассматриваются только тогда, когда все входящие в них суммы или произведения определены.

Доказательство

Для любого k≥nk\geq nxk≥an,yk≥bn,x_k\geq a_n,\qquad y_k\geq b_n,поэтомуxkyk≥anbn.x_ky_k\geq a_nb_n.Кроме того, yk≤Bny_k\leq B_n, следовательно,xkyk≤xkBn.x_ky_k\leq x_kB_n.Отсюдаanbn≤inf⁡k≥n(xkyk)≤anBn.a_nb_n
\leq
\inf_{k\geq n}(x_ky_k)
\leq
a_nB_n.Переходя к пределу, получаемlim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_ny_n)
\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n.
Далее, из xk≥anx_k\geq a_n следуетxkyk≥anyk,x_ky_k\geq a_ny_k,а из xk≤Anx_k\leq A_n и yk≤Bny_k\leq B_n следуетxkyk≤AnBn.x_ky_k\leq A_nB_n.ПоэтомуanBn≤sup⁡k≥n(xkyk)≤AnBn.a_nB_n
\leq
\sup_{k\geq n}(x_ky_k)
\leq
A_nB_n.Переходя к пределу, получаемlim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xnyn)≤lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_ny_n)
\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.
Для примера зададим периодические последовательностиxn+4=xn,yn+4=yn,x_{n+4}=x_n,\qquad y_{n+4}=y_n,где(x1,x2,x3,x4)=(1,2,4,3),(y1,y2,y3,y4)=(3,4,1,2).(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,4,3),
\qquad
(y_1,y_2,y_3,y_4)=(3,4,1,2).Тогдаlim‾⁡xn=lim‾⁡yn=1,lim‾⁡xn=lim‾⁡yn=4,\varliminf x_n=\varliminf y_n=1,
\qquad
\varlimsup x_n=\varlimsup y_n=4,аxnyn=(3,8,4,6,…),x_ny_n=(3,8,4,6,\ldots),поэтомуlim‾⁡(xnyn)=3,lim‾⁡(xnyn)=8.\varliminf(x_ny_n)=3,
\qquad
\varlimsup(x_ny_n)=8.Следовательно,1<3<4<8<16,1<3<4<8<16,то есть все неравенства строгие.

Если в одной из записанных оценок появляется определённое бесконечное значение, переход выполняется по определению бесконечного предела. Например, для нижней оценки +∞+\infty сначала задаём любое конечное число MM; соответствующая граница хвоста со временем больше MM, значит, больше MM и оцениваемая величина. Для верхней оценки −∞-\infty используем произвольную границу −M-M. Оценки сверху через +∞+\infty и снизу через −∞-\infty выполняются автоматически. Неопределённые суммы и произведения этим рассуждением не охватываются.

Что и требовалось доказать

Демидович № 132 — решение | Высшая математика — Профиматика