Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 132

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

x_n\geq0

y_n\geq0

. Доказать, что:

\text{а) }\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n\leq\varliminf(x_ny_n)\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n;

\text{б) }\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n\leq\varlimsup(x_ny_n)\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.

Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказательство

Идея

Обозначим

a_n=\inf_{k\geq n}x_k,\qquad A_n=\sup_{k\geq n}x_k,

b_n=\inf_{k\geq n}y_k,\qquad B_n=\sup_{k\geq n}y_k.

Все эти величины неотрицательны.

1
Для любого $k\geq n$ $x_k\geq a_n,\qquad y_k\geq b_n,$ поэтому $x_ky_k\geq a_nb_n.$ Кроме того, $y_k\leq B_n$ , следовательно, $x_ky_k\leq x_kB_n.$ Отсюда $a_nb_n\leq\inf_{k\geq n}(x_ky_k)\leqa_nB_n.$ Переходя к пределу, получаем $\varliminf x_n\cdot\varliminf y_n\leq\varliminf(x_ny_n)\leq\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n.$
2
Далее, из $x_k\geq a_n$ следует $x_ky_k\geq a_ny_k,$ а из $x_k\leq A_n$ и $y_k\leq B_n$ следует $x_ky_k\leq A_nB_n.$ Поэтому $a_nB_n\leq\sup_{k\geq n}(x_ky_k)\leqA_nB_n.$ Переходя к пределу, получаем $\varliminf x_n\cdot\varlimsup y_n\leq\varlimsup(x_ny_n)\leq\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.$

Проверка

Для примера зададим периодические последовательности

x_{n+4}=x_n,\qquad y_{n+4}=y_n,

где

(x_1,x_2,x_3,x_4)=(1,2,4,3),\qquad(y_1,y_2,y_3,y_4)=(3,4,1,2).

Тогда

\varliminf x_n=\varliminf y_n=1,\qquad\varlimsup x_n=\varlimsup y_n=4,

x_ny_n=(3,8,4,6,\ldots),

поэтому

\varliminf(x_ny_n)=3,\qquad\varlimsup(x_ny_n)=8.

Следовательно,

\boxed{1<3<4<8<16},

то есть все неравенства строгие.

Что и требовалось доказать