Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 100

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 100

xn=n+100n.x_n=n+\frac{100}{n}.

Решение

Идея

Оба слагаемых положительны, а их произведение не зависит от nn:n⋅100n=100.n\cdot\frac{100}{n}=100.Это наблюдение подсказывает применить неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Оно даст нижнюю оценку, после чего останется проверить, достигается ли случай равенства при натуральном nn.
  1. 1
    Нижняя оценка и случай равенства. Для любого натурального nn имеемn+100n≥2n⋅100n=20.n+\frac{100}{n}
    \ge2\sqrt{n\cdot\frac{100}{n}}
    =20.    Равенство в неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим достигается тогда и только тогда, когда слагаемые равны:n=100n.n=\frac{100}{n}.Отсюдаn2=100,n^2=100,и с учётом натуральности nn получаем n=10n=10.

    Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим применимо, поскольку оба слагаемых положительны. Условие равенства приводит к натуральному номеру n=10n=10, поэтому полученная нижняя оценка действительно является наименьшим значением последовательности.
  2. 2
    min⁡n≥1(n+100n)=20,\min_{n\ge1}\left(n+\frac{100}{n}\right)=20,минимум достигается при n=10n=10.

    Альтернативное решение:
    Выделим полный квадрат:xn=n+100n=(n−10n)2+20x_n = n + \frac{100}{n} = \left(\sqrt{n} - \frac{10}{\sqrt{n}}\right)^2 + 20
  3. 3
    Так как квадрат любого выражения всегда неотрицателен, минимально возможное значение всей суммы равно 2020.

    Оно достигается в том случае, когда выражение в скобках обращается в ноль:n−10n=0  ⟹  n=10\sqrt{n} - \frac{10}{\sqrt{n}} = 0 \implies n = 10

Проверка

Поскольку n=10n = 10 является натуральным числом, наименьший член последовательности достигается именно при нём:x10=20x_{10} = 20
Демидович № 100 — решение