Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 134

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 134

Доказать, что последовательность xnx_n сходится, если выполнено хотя бы одно из следующих двух условий.

а) Для любой последовательности yny_n имеет место равенство:lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_nб) xn≥0x_n\ge0, и для любой последовательности yny_n имеет место равенство:lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn.\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
.

Доказательство

Обозначим a=lim inf⁡xna=\liminf x_n, b=lim sup⁡xnb=\limsup x_n.

Пункт а)

Предположим, что равенство для суммы выполняется при любой последовательности yny_n. Подставим yn=−xny_n=-x_n. Сумма тождественно равна нулю, поэтому0=lim sup⁡(xn−xn)=b−a.0=\limsup(x_n-x_n)=b-a.Правая часть должна быть определена и равна конечному числу 00. Это возможно только при конечных aa и bb, причём a=ba=b. Равенство конечных нижнего и верхнего пределов означает, что xnx_n сходится.

Пункт б)

Теперь предполагаем xn≥0x_n\ge0 и равенство для произведения при любой yny_n. Подстановка yn=0y_n=0 показывает, что bb конечен: при b=+∞b=+\infty правая часть b⋅0b\cdot0 не определена, тогда как левая равна 00. Следовательно, 0≤a≤b<+∞0\le a\le b<+\infty.

Допустим, что a<ba<b, и выберем cc с a<c<ba<c<b. Положимyn={1,xn≤c,0,xn>c.y_n=\begin{cases}1,&x_n\le c,\\0,&x_n>c.\end{cases}Так как a<ca<c, членов xn≤cx_n\le c бесконечно много; значит, lim sup⁡yn=1\limsup y_n=1. При этом 0≤xnyn≤c0\le x_ny_n\le c для всех nn, поэтомуlim sup⁡(xnyn)≤c<b=blim sup⁡yn.\limsup(x_ny_n)\le c<b=b\limsup y_n.Получено противоречие. Значит, a=ba=b, и последовательность снова сходится.

В каждом из двух случаев доказана сходимость исходной последовательности.

Что и требовалось доказать

Демидович № 134 — решение | Высшая математика — Профиматика