Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 134

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 134

Доказать, что если для некоторой последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), какова бы ни была последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), имеет место по меньшей мере одно из равенств:а) lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim‾⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn\text{а) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_nилиб) lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn≥0),\text{б) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
\qquad(x_n\geq0),то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Доказательство

Идея

Предположим противное: последовательность xnx_n не сходится. Обозначимa=lim‾⁡n→∞xn,b=lim‾⁡n→∞xn,a<b.a=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
b=\varlimsup_{n\to\infty}x_n,
\qquad
a<b.
  1. 1

    Пункт а)

    Пусть равенство (а) выполняется для любой последовательности yny_n. Возьмем yn=−xny_n=-x_n. Тогда xn+yn=0x_n+y_n=0, так что lim‾⁡(xn+yn)=0\varlimsup(x_n+y_n)=0, аlim‾⁡yn=lim‾⁡(−xn)=−lim‾⁡xn=−a.\varlimsup y_n
    =
    \varlimsup(-x_n)
    =
    -\varliminf x_n
    =
    -a.    Поэтому из равенства (а) получаем 0=b−a0=b-a, откуда a=ba=b, противоречие с a<ba<b. Значит, xnx_n сходится.
  2. 2

    Пункт б)

    Пусть xn≥0x_n\geq0 и равенство (б) выполняется для любой последовательности yny_n. Снова предположим a<ba<b и выберем cc так, чтобыa<c<b.a<c<b.Зададимyn={1,xn≤c,0,xn>c.y_n=
    \begin{cases}
    1, & x_n\leq c,\\
    0, & x_n>c.
    \end{cases}    Поскольку a<ca<c, неравенство xn≤cx_n\leq c выполняется для бесконечного числа номеров, а значит, lim‾⁡yn=1\varlimsup y_n=1.

Проверка

Кроме того,xnyn={xn,xn≤c,0,xn>c.x_ny_n=
\begin{cases}
x_n, & x_n\leq c,\\
0, & x_n>c.
\end{cases}Так как xn≥0x_n\geq0, всегда 0≤xnyn≤c0\leq x_ny_n\leq c, поэтомуlim‾⁡(xnyn)≤c.\varlimsup(x_ny_n)\leq c.Но lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn=b⋅1=b\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n=b\cdot1=b, и при c<bc<b имеемlim‾⁡(xnyn)≤c<b=lim‾⁡xn⋅lim‾⁡yn.\varlimsup(x_ny_n)\leq c<b
=
\varlimsup x_n\cdot\varlimsup y_n.Это противоречит равенству (б). Следовательно, a=ba=b, то есть последовательность xnx_n сходится.

Что и требовалось доказать

Демидович № 134 — решение