Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 97

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 97

xn=n100+n.x_n=\frac{\sqrt n}{100+n}.

Решение

Идея

Перепишем знаменатель, выделив в нём полный квадрат. Для этого представим 100+n100+n как (n−20n+100)+20n(n - 20\sqrt{n} + 100) + 20\sqrt{n}:xn=n(n−10)2+20nx_n = \frac{\sqrt{n}}{(\sqrt{n}-10)^2 + 20\sqrt{n}}
  1. 1
    Разделим числитель и знаменатель на n\sqrt{n}:xn=1(n−10)2n+20x_n = \frac{1}{\frac{(\sqrt{n}-10)^2}{\sqrt{n}} + 20}Дробь принимает наибольшее значение, когда её знаменатель минимален.
    Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, выражение (n−10)2n\frac{(\sqrt{n}-10)^2}{\sqrt{n}} всегда ≥0\ge 0.
    Значит, весь знаменатель никогда не будет меньше 2020.

    Минимум знаменателя (и максимум всей дроби) достигается в том случае, когда этот квадрат обращается в ноль:n−10=0  ⟹  n=100\sqrt{n} - 10 = 0 \implies n = 100
  2. 2
    Так как n=100n = 100 - натуральное число, наибольший член последовательности достигается именно при нём:x100=120x_{100} = \frac{1}{20}

Проверка

max⁡n≥1n100+n=x100=120.\max_{n\ge1}\frac{\sqrt n}{100+n}
=x_{100}=\frac1{20}.
Демидович № 97 — решение