Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 97

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 97

xn=n100+n.x_n=\frac{\sqrt n}{100+n}.

Решение

Разделим числитель и знаменатель на n>0\sqrt n>0. После выделения полного квадрата получим
xn=1n+100n=120+(n−10)2n.x_n=\frac1{\sqrt n+\frac{100}{\sqrt n}}
=\frac1{20+\frac{(\sqrt n-10)^2}{\sqrt n}}.В знаменателе второе слагаемое неотрицательно, поэтому xn≤120x_n\le\frac1{20}. Равенство возможно именно при n=10\sqrt n=10, то есть при натуральном n=100n=100. Следовательно, x100=120x_{100}=\frac1{20} — наибольший член.