Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 106

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 106

xn=(−1)nn.x_n=(-1)^n n.

Решение

Идея

Знак (−1)n(-1)^n меняется с чётностью номера, тогда как множитель nn неограниченно растёт. Поэтому чётные члены становятся сколь угодно большими, а нечётные — сколь угодно малыми. Отдельное рассмотрение этих двух подпоследовательностей определит и глобальные грани, и поведение каждого хвоста.
Две подпоследовательности. Для чётных номеровx2k=2k⟶+∞,x_{2k}=2k\longrightarrow+\infty,а для нечётныхx2k−1=−(2k−1)⟶−∞.x_{2k-1}=-(2k-1)\longrightarrow-\infty.Следовательно, последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу:inf⁡xn=−∞,sup⁡xn=+∞.\inf x_n=-\infty,
\qquad
\sup x_n=+\infty.Поскольку в каждом хвосте встречаются сколь угодно большие положительные и сколь угодно малые отрицательные члены,lim inf⁡xn=−∞,lim sup⁡xn=+∞.\liminf x_n=-\infty,
\qquad
\limsup x_n=+\infty.Равенства inf⁡xn=−∞\inf x_n=-\infty и sup⁡xn=+∞\sup x_n=+\infty понимаются на расширенной числовой прямой. В каждом хвосте остаётся бесконечно много чётных и нечётных индексов, поэтому описанное поведение сохраняется после отбрасывания любого конечного числа первых членов.

Проверка

inf⁡xn=−∞,sup⁡xn=+∞,lim inf⁡xn=−∞,lim sup⁡xn=+∞.\inf x_n=-\infty,
\quad
\sup x_n=+\infty,
\quad
\liminf x_n=-\infty,
\quad
\limsup x_n=+\infty.
Демидович № 106 — решение | Высшая математика — Профиматика