Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 128

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть последовательности

x_n

y_n

(n=1,2,\ldots)

расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:

\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_n

также расходятся?

Решение

Идея

Нет, в обоих случаях утверждать этого нельзя. Операции над двумя расходящимися последовательностями могут порождать сходящуюся.

1
Пункт а)
Пример: $x_n = n$ (расходится к $+\infty$ ), $y_n = -n$ (расходится к $-\infty$ ). Их сумма $x_n + y_n = 0$ сходится к 0.

Другой пример (без бесконечностей): $x_n = (-1)^n$ , $y_n = (-1)^{n+1}$ . Обе расходятся, но сумма тождественно равна 0.
2
Пункт б)
Пример: $x_n = (-1)^n$ и $y_n = (-1)^n$ . Обе последовательности не имеют предела, но их произведение $x_n y_n = (-1)^{2n} \equiv 1$ сходится к 1.