Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 128

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 128

Пусть последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходятся. Можно ли утверждать, что последовательности:а) xn+yn;б) xnyn\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_nтакже расходятся?

Решение

Пункт а)

Пример: xn=nx_n = n (расходится к +∞+\infty), yn=−ny_n = -n (расходится к −∞-\infty). Их сумма xn+yn=0x_n + y_n = 0 сходится к 0.

Другой пример (без бесконечностей): xn=(−1)nx_n = (-1)^n, yn=(−1)n+1y_n = (-1)^{n+1}. Обе расходятся, но сумма тождественно равна 0.

Пункт б)

Пример: xn=(−1)nx_n = (-1)^n и yn=(−1)ny_n = (-1)^n. Обе последовательности не имеют предела, но их произведение xnyn=(−1)2n≡1x_n y_n = (-1)^{2n} \equiv 1 сходится к 1.
Демидович № 128 — решение | Высшая математика — Профиматика