Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 101

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 101

а) xn=1−1n;б) xn=(−1)n−1(2+3n).\text{а) }x_n=1-\frac1n;
\qquad
\text{б) }x_n=(-1)^{n-1}\left(2+\frac3n\right).

Опирается на

Решение

а) Возрастающая последовательность

Первый член равен нулю, а xn+1−xn=1n−1n+1>0x_{n+1}-x_n=\frac1n-\frac1{n+1}>0. Последовательность возрастает и стремится к 11, не достигая этого числа. Следовательно, inf⁡xn=0\inf x_n=0, sup⁡xn=1\sup x_n=1, тогда как оба её предела по хвостам равны 11: lim‾⁡xn=lim‾⁡xn=1\varliminf x_n=\varlimsup x_n=1.

б) Чётные и нечётные номера

При нечётных номерах члены положительны, при чётных отрицательны:x2k−1=2+32k−1⟶2,x2k=−2−32k⟶−2.x_{2k-1}=2+\frac3{2k-1}\longrightarrow 2,
\qquad
x_{2k}=-2-\frac3{2k}\longrightarrow-2.Наибольший член нечётной подпоследовательности равен x1=5x_1=5, наименьший член чётной равен x2=−72x_2=-\frac72. Значит, inf⁡xn=−72\inf x_n=-\frac72 и sup⁡xn=5\sup x_n=5. Всякая подпоследовательность содержит бесконечно много чётных или бесконечно много нечётных номеров. Если она сходится, выделенная из неё подпоследовательность той же чётности имеет тот же предел. Поэтому других частичных пределов, кроме −2-2 и 22, нет:lim‾⁡xn=−2,lim‾⁡xn=2.\varliminf x_n=-2,\qquad\varlimsup x_n=2.Здесь глобальные грани определяются первыми членами, а нижний и верхний пределы — поведением далёких членов.