Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 113

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 113

xn=nn+1sin⁡2nπ4.x_n=\frac{n}{n+1}\sin^2\frac{n\pi}{4}.

Решение

Идея

Квадрат синуса повторяет значения через четыре номера, а множитель nn+1\frac{n}{n+1} стремится к 11. Значит, всё предельное поведение определяется четырьмя классами остатков по модулю 44. Выпишем их значения, найдём пределы и выберем крайние.
Четыре класса остатков. Имеемsin⁡2nπ4={0,n≡0(mod4),1,n≡2(mod4),12,n≡1,3(mod4).\sin^2\frac{n\pi}{4}=\begin{cases}
0,&n\equiv0\pmod4,\\
1,&n\equiv2\pmod4,\\
\dfrac12,&n\equiv1,3\pmod4.
\end{cases}Следовательно,x4k=0,x_{4k}=0,x4k+2=4k+24k+3⟶1,x_{4k+2}=\frac{4k+2}{4k+3}\longrightarrow1,а для n≡1,3(mod4)n\equiv1,3\pmod4xn=12⋅nn+1⟶12.x_n=\frac12\cdot\frac{n}{n+1}\longrightarrow\frac12.Таким образом, частичные пределы равны 00, 12\frac12 и 11.

Значения sin⁡2nπ4\sin^2\frac{n\pi}{4} перечислены для всех четырёх классов остатков. Множитель nn+1\frac{n}{n+1} стремится к единице, поэтому найденные пределы 00, 12\frac12 и 11 исчерпывают множество частичных пределов.

Проверка

lim inf⁡n→∞xn=0,lim sup⁡n→∞xn=1.\liminf_{n\to\infty}x_n=0,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=1.
Демидович № 113 — решение