Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 135

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 135

Доказать, что если xn>0x_n>0 иlim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞1xn=1,\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot
\varlimsup_{n\to\infty}\frac1{x_n}=1,то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Доказательство

Идея

Обозначимl=lim‾⁡n→∞xn,L=lim‾⁡n→∞xn.l=\varliminf_{n\to\infty}x_n,
\qquad
L=\varlimsup_{n\to\infty}x_n.Для положительных xnx_nsup⁡k≥n1xk=1inf⁡k≥nxk,\sup_{k\geq n}\frac1{x_k}
=
\frac1{\inf_{k\geq n}x_k},поэтому при n→∞n\to\inftylim‾⁡n→∞1xn=1l.\varlimsup_{n\to\infty}\frac1{x_n}
=
\frac1l.
Условие принимает вид L⋅1l=1L\cdot\frac1l=1. Поскольку справа стоит конечное положительное число, имеем 0<l≤L<+∞0<l\leq L<+\infty, а значит, Ll=1\frac{L}{l}=1 и L=lL=l.

Проверка

Нижний и верхний пределы совпадают, поэтомуxn сходится.\boxed{x_n\text{ сходится}.}

Что и требовалось доказать