Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 135

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 135

Доказать, что если xn>0x_n>0 иlim‾⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞1xn=1,\varlimsup_{n\to\infty}x_n\cdot
\varlimsup_{n\to\infty}\frac1{x_n}=1,то последовательность xnx_n — сходящаяся.

Доказательство

Обозначим l=lim‾⁡xnl=\varliminf x_n и L=lim‾⁡xnL=\varlimsup x_n. Поскольку xn>0x_n>0, обращение меняет местами нижнюю и верхнюю грани каждого хвоста:
sup⁡k≥n1xk=1inf⁡k≥nxk.\sup_{k\ge n}\frac1{x_k}
=\frac1{\inf_{k\ge n}x_k}.При переходе к пределу по nn получаем lim‾⁡1xn=1l\varlimsup\frac1{x_n}=\frac1l в расширенном смысле. По условию произведение L⋅1lL\cdot\frac1l равно конечному числу 11; значит, ll и LL конечны, причём 0<l≤L0<l\le L. Поэтому Ll=1\frac{L}{l}=1 и L=lL=l. Равенство нижнего и верхнего пределов означает сходимость xnx_n.

Что и требовалось доказать

Демидович № 135 — решение | Высшая математика — Профиматика