Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 117

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 117

1, 12, 1+12, 13, 1+13, 12+13, 14, 1+14, 12+14, 13+14, 15,…,1,\ \frac12,\ 1+\frac12,\ \frac13,\ 1+\frac13,\ \frac12+\frac13,
\ \frac14,\ 1+\frac14,\ \frac12+\frac14,\ \frac13+\frac14,
\ \frac15,\ldots,1n, 1+1n, 12+1n,…,1n−1+1n, 1n+1,….\frac1n,\ 1+\frac1n,\ \frac12+\frac1n,\ldots,
\frac1{n-1}+\frac1n,\ \frac1{n+1},\ldots .

Опирается на

Решение

Построение заявленных частичных пределов. Члены 1n\frac1n, взятые по одному из каждого блока, удовлетворяют1n→0.\frac1n\to0.Значит, 00 — частичный предел.

Зафиксируем k∈Nk\in\mathbb N. В каждом блоке с номером n>kn>k присутствует член1k+1n.\frac1k+\frac1n.При n→∞n\to\infty он стремится к 1k\frac1k. Поэтому все числа1,12,13,…1,\frac12,\frac13,\ldotsявляются частичными пределами.
Докажем, что других частичных пределов нет. Пусть некоторая подпоследовательность сходится к LL. Поскольку каждый блок содержит лишь конечное число членов, номера блоков njn_j, из которых выбраны члены этой подпоследовательности, стремятся к бесконечности.
Если среди выбранных членов бесконечно много одиночных дробей1nj,\frac1{n_j},то они образуют подподпоследовательность, стремящуюся к 00. Поскольку исходная подпоследовательность сходится к LL, любая её подподпоследовательность имеет тот же предел, поэтомуL=0.L=0.Остаётся случай, когда начиная с некоторого места все члены имеют вид1kj+1nj,1≤kj<nj.\frac1{k_j}+\frac1{n_j},
\qquad
1\leq k_j<n_j.Здесь возможны два случая.
Еслиkj→+∞,k_j\to+\infty,то1kj→0,1nj→0,\frac1{k_j}\to0,
\qquad
\frac1{n_j}\to0,и потомуL=0.L=0.Пусть теперь kj↛+∞k_j\not\to+\infty. Тогда существует натуральное число KK такое, что неравенствоkj≤Kk_j\leq Kвыполняется для бесконечного числа индексов jj. Среди конечного набора значений1,2,…,K1,2,\ldots,Kхотя бы одно значение kk встречается бесконечно много раз. Выделим соответствующую подподпоследовательность. На нейkj=k,k_j=k,поэтому её члены имеют вид1k+1nj\frac1k+\frac1{n_j}и при nj→∞n_j\to\infty стремятся к1k.\frac1k.Но эта подподпоследовательность выделена из последовательности, сходящейся к LL, значит,L=1k.L=\frac1k.Множество частичных пределов равно{0}∪{1k:k∈N}.\{0\}\cup\left\{\frac1k:k\in\mathbb N\right\}.
Демидович № 117 — решение | Высшая математика — Профиматика