Демидович — задача 133

1. 1

   Пункт а)

   Поскольку$$\varliminf x_n=\varlimsup x_n=a,$$неравенства задачи 131 дают сразу$$a+\varlimsup y_n$$
   \leq
   \varlimsup(x_n+y_n)
   \leq
   a+\varlimsup y_n.Обе оценки совпали, значит,$$\boxed{$$
   \varlimsup(x_n+y_n)
   =
   \lim x_n+\varlimsup y_n
   }.
2. 2

   Пункт б)

   Из $x_n\geq0$ и $x_n\to a$ имеем $a\geq0$.
3. 3
   Сначала пусть $a>0$. Из $\varlimsup y_n=b$ можно выбрать подпоследовательность $y_{n_k}\to b$. На тех же индексах $x_{n_k}\to a$, поэтому $x_{n_k}y_{n_k}\to ab$ и$$\varlimsup(x_ny_n)\geq ab.$$
4. 4
   Для обратной оценки возьмем любую подпоследовательность $x_{m_k}y_{m_k}$, сходящуюся к частичному пределу $c$. Тогда$$y_{m_k}$$
   =
   \frac{x_{m_k}y_{m_k}}{x_{m_k}}
   \to
   \frac ca,поскольку $x_{m_k}\to a>0$. Число $\frac ca$ является частичным пределом последовательности $y_n$, поэтому $\frac ca\leq b$. При $a>0$ это равносильно $c\leq ab$. Значит, ни один частичный предел последовательности $x_ny_n$ не превосходит $ab$, и$$\varlimsup(x_ny_n)\leq ab.$$Вместе с первой оценкой получаем$$\varlimsup(x_ny_n)=ab.$$
5. 5
   Осталось рассмотреть $a=0$. Если $b$ конечно, то начиная с некоторого номера $y_n\leq M$ для некоторого $M>0$. При $y_n\leq0$ имеем $x_ny_n\leq0$, а при $y_n>0$$$0<x_ny_n\leq Mx_n\to0.$$Отсюда $\varlimsup(x_ny_n)\leq0$. С другой стороны, существует подпоследовательность $y_{n_k}\to b$, и на ней $x_{n_k}y_{n_k}\to0$, так что $\varlimsup(x_ny_n)\geq0$. Значит,$$\varlimsup(x_ny_n)=0=ab.$$

Что и требовалось доказать