Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 133

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 133

Доказать, что если lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n существует, то, какова бы ни была последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), имеем:а) lim‾⁡n→∞(xn+yn)=lim⁡n→∞xn+lim‾⁡n→∞yn;\text{а) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_n+y_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n+\varlimsup_{n\to\infty}y_n;б) lim‾⁡n→∞(xnyn)=lim⁡n→∞xn⋅lim‾⁡n→∞yn(xn≥0).\text{б) }\varlimsup_{n\to\infty}(x_ny_n)
=
\lim_{n\to\infty}x_n\cdot\varlimsup_{n\to\infty}y_n
\qquad(x_n\geq0).В пункте а) предел xnx_n конечен; в пункте б) дополнительно предполагается, что произведение в правой части определено.

Доказательство

Пункт а)

Посколькуlim‾⁡xn=lim‾⁡xn=a,\varliminf x_n=\varlimsup x_n=a,неравенства задачи 131 дают сразуa+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤a+lim‾⁡yn.a+\varlimsup y_n
\leq
\varlimsup(x_n+y_n)
\leq
a+\varlimsup y_n.Обе оценки совпали, значит,lim‾⁡(xn+yn)=lim⁡xn+lim‾⁡yn.\varlimsup(x_n+y_n)
=
\lim x_n+\varlimsup y_n
.

Пункт б)

Из xn≥0x_n\geq0 и xn→ax_n\to a имеем a≥0a\geq0.
Сначала пусть a>0a>0. Из lim‾⁡yn=b\varlimsup y_n=b можно выбрать подпоследовательность ynk→by_{n_k}\to b. На тех же индексах xnk→ax_{n_k}\to a, поэтому xnkynk→abx_{n_k}y_{n_k}\to ab иlim‾⁡(xnyn)≥ab.\varlimsup(x_ny_n)\geq ab.
Если bb конечно, то yny_n ограничена сверху на хвосте, а xnx_n положительна и ограничена. Значит, произведение также ограничено сверху. Уже найденный конечный частичный предел abab исключает верхний предел −∞-\infty. Для обратной оценки возьмем любую подпоследовательность xmkymkx_{m_k}y_{m_k}, сходящуюся к частичному пределу cc. Тогдаymk=xmkymkxmk→ca,y_{m_k}
=
\frac{x_{m_k}y_{m_k}}{x_{m_k}}
\to
\frac ca,поскольку xmk→a>0x_{m_k}\to a>0. Число ca\frac ca является частичным пределом последовательности yny_n, поэтому ca≤b\frac ca\leq b. При a>0a>0 это равносильно c≤abc\leq ab. Значит, ни один частичный предел последовательности xnynx_ny_n не превосходит abab, иlim‾⁡(xnyn)≤ab.\varlimsup(x_ny_n)\leq ab.Вместе с первой оценкой получаемlim‾⁡(xnyn)=ab.\varlimsup(x_ny_n)=ab.
Осталось рассмотреть a=0a=0. Если bb конечно, то начиная с некоторого номера yn≤My_n\leq M для некоторого M>0M>0. При yn≤0y_n\leq0 имеем xnyn≤0x_ny_n\leq0, а при yn>0y_n>00≤xnyn≤Mxn→0.0\leq x_ny_n\leq Mx_n\to0.Отсюда lim‾⁡(xnyn)≤0\varlimsup(x_ny_n)\leq0. С другой стороны, существует подпоследовательность ynk→by_{n_k}\to b, и на ней xnkynk→0x_{n_k}y_{n_k}\to0, так что lim‾⁡(xnyn)≥0\varlimsup(x_ny_n)\geq0. Значит,lim‾⁡(xnyn)=0=ab.\varlimsup(x_ny_n)=0=ab.
Итак,lim‾⁡(xnyn)=lim⁡xn⋅lim‾⁡yn.\varlimsup(x_ny_n)
=
\lim x_n\cdot\varlimsup y_n
.При a>0a>0 формула верна и для b=±∞b=\pm\infty. Если b=+∞b=+\infty, выбираем подпоследовательность ynk→+∞y_{n_k}\to+\infty и используем xnk>a2x_{n_k}>\frac{a}{2} на хвосте. Если b=−∞b=-\infty, вся последовательность yn→−∞y_n\to-\infty; при больших nn она отрицательна, и xnyn≤(a2)yn→−∞x_ny_n\le(\frac{a}{2})y_n\to-\infty.

При a=0a=0 и b=±∞b=\pm\infty правая часть не определена, и формула ничего не утверждает. Например, xn=1nx_n=\frac{1}{n}, yn=ny_n=n дают произведение 11, а xn=1n2x_n=\frac{1}{n^2}, yn=ny_n=n дают предел 00.

Что и требовалось доказать

Демидович № 133 — решение | Высшая математика — Профиматика