Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 108

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 108

xn=n(−1)n.x_n=n^{(-1)^n}.

Решение

Идея

При чётных номерах показатель (−1)n(-1)^n равен 11, а при нечётных — −1-1. Поэтому одна подпоследовательность совпадает с растущими натуральными числами, а другая состоит из их обратных величин. Это сразу подсказывает разбиение по чётности; затем останется различить недостигаемую нижнюю грань и отсутствие конечной верхней грани.
Чётные и нечётные номера. Для n=2kn=2k имеемx2k=(2k)1=2k⟶+∞.x_{2k}=(2k)^1=2k\longrightarrow+\infty.Для n=2k−1n=2k-1 имеемx2k−1=(2k−1)−1=12k−1⟶0.x_{2k-1}=(2k-1)^{-1}=\frac1{2k-1}\longrightarrow0.Все члены положительны, причём нуль не достигается, но является нижней гранью. Сверху последовательность не ограничена. Поэтомуinf⁡xn=0,sup⁡xn=+∞,\inf x_n=0,
\qquad
\sup x_n=+\infty,lim inf⁡xn=0,lim sup⁡xn=+∞.\liminf x_n=0,
\qquad
\limsup x_n=+\infty.Нижняя грань 00 не достигается ни одним членом, но является пределом нечётной подпоследовательности. Чётная подпоследовательность остаётся неограниченной в каждом хвосте, поэтому и верхняя грань, и верхний предел равны +∞+\infty.

Проверка

inf⁡xn=0,sup⁡xn=+∞,lim inf⁡xn=0,lim sup⁡xn=+∞.\inf x_n=0,
\quad
\sup x_n=+\infty,
\quad
\liminf x_n=0,
\quad
\limsup x_n=+\infty.