Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 111

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 111

xn=n21+n2cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n^2}{1+n^2}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Решение

Идея

Множитель n21+n2\frac{n^2}{1+n^2} постепенно приближается к 11. При этом косинус принимает только два значения: одно для номеров, кратных трём, и другое для двух остальных классов. Разделим последовательность по этим классам и найдём предел каждой полученной подпоследовательности; крайние из них дадут lim inf⁡\liminf и lim sup⁡\limsup.
Разбиение по модулю 33. Если n=3kn=3k, тоcos⁡2nπ3=1,\cos\frac{2n\pi}{3}=1,и поэтомуx3k=9k21+9k2⟶1.x_{3k}=\frac{9k^2}{1+9k^2}\longrightarrow1.Если nn не делится на 33, тоcos⁡2nπ3=−12,\cos\frac{2n\pi}{3}=-\frac12,откудаxn=−12⋅n21+n2⟶−12.x_n=-\frac12\cdot\frac{n^2}{1+n^2}\longrightarrow-\frac12.Итак, множество частичных пределов состоит из двух чисел 11 и −12-\frac12.lim inf⁡n→∞xn=−12,lim sup⁡n→∞xn=1.\liminf_{n\to\infty}x_n=-\frac12,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=1.

Проверка

Разбиение на классы остатков по модулю 33 охватывает все номера: один класс даёт предел 11, два остальных — один и тот же предел −12-\frac12. Следовательно, других частичных пределов нет, а меньшее и большее из найденных значений являются соответственно lim inf⁡\liminf и lim sup⁡\limsup.
Демидович № 111 — решение