Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 127

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 127

Пусть последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится, а последовательность yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) расходится. Что можно утверждать о сходимости последовательностей:а) xn+yn;б) xnyn?\text{а) }x_n+y_n;\qquad \text{б) }x_ny_n?Привести соответствующие примеры.

Решение

  1. 1

    Пункт а)

    Сумма xn+ynx_n + y_n всегда расходится.

    Доказательство от противного: допустим, zn=xn+ynz_n = x_n + y_n сходится. Поскольку xnx_n сходится по условию, разность двух сходящихся последовательностей zn−xnz_n - x_n также должна сходиться. Но zn−xn=ynz_n - x_n = y_n, а yny_n расходится. Получили противоречие.
  2. 2

    Пункт б)

    Произведение xnynx_n y_n может как сходиться, так и расходиться.

    Пример сходимости: xn=0x_n = 0 (константа, сходится к 0), yn=ny_n = n (расходится). Произведение xnyn≡0x_n y_n \equiv 0 сходится.

Проверка

Пример расходимости: xn=1x_n = 1 (сходится к 1), yn=ny_n = n (расходится). Произведение xnyn=nx_n y_n = n расходится.
Демидович № 127 — решение