Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 105

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 105

xn=n−1n+1cos⁡2nπ3.x_n=\frac{n-1}{n+1}\cos\frac{2n\pi}{3}.

Решение

Идея

Значение косинуса определяется остатком nn при делении на 33: при кратных трём номерах оно равно 11, а в двух остальных классах — −12-\frac12. Множитель n−1n+1\frac{n-1}{n+1} при этом стремится к 11. Разберём обе группы индексов, затем проверим, достигаются ли полученные предельные границы.
  1. 1
    Индексы, кратные трём. Если n=3kn=3k, тоcos⁡2nπ3=cos⁡(2kπ)=1,\cos\frac{2n\pi}{3}=\cos(2k\pi)=1,иx3k=3k−13k+1⟶1.x_{3k}=\frac{3k-1}{3k+1}\longrightarrow1.При этом x3k<1x_{3k}<1 для каждого kk.

    Остальные два класса. Если nn не делится на 33, тоcos⁡2nπ3=−12,\cos\frac{2n\pi}{3}=-\frac12,поэтомуxn=−n−12(n+1)⟶−12.x_n=-\frac{n-1}{2(n+1)}\longrightarrow-\frac12.При каждом таком натуральном nn это значение строго больше −12-\frac12.
  2. 2
    Следовательно, нижняя и верхняя грани равны соответствующим предельным значениям и не достигаются:inf⁡xn=−12,sup⁡xn=1.\inf x_n=-\frac12,
    \qquad
    \sup x_n=1.    Эти же числа являются нижним и верхним пределами.

    Все три класса остатков по модулю 33 учтены. Подпоследовательность с индексами, кратными трём, приближается к 11 снизу, а две остальные — к −12-\frac12 сверху; поэтому обе точные грани существуют, но не достигаются. Равенство x1=0x_1=0 не меняет ни предельного поведения соответствующего класса, ни границ всей последовательности.

Проверка

inf⁡xn=−12,sup⁡xn=1,lim inf⁡xn=−12,lim sup⁡xn=1.\inf x_n=-\frac12,
\qquad
\sup x_n=1,
\qquad
\liminf x_n=-\frac12,
\qquad
\limsup x_n=1.