Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 137

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 137

Пусть числовая последовательность x1,x2,…,xn,…x_1,x_2,\ldots,x_n,\ldots удовлетворяет условию0≤xm+n≤xm+xn(m,n=1,2,…).0\le x_{m+n}\le x_m+x_n\qquad(m,n=1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xnn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n} существует.

Доказательство

Идея

Зафиксируем натуральное mm. Любое nn можно представить в видеn=qm+r,q≥0,1≤r≤m.n=qm+r,\qquad q\geq0,\qquad 1\leq r\leq m.Последовательно применяя xk+l≤xk+xlx_{k+l}\leq x_k+x_l, имеем xn=xqm+r≤qxm+xrx_n=x_{qm+r}\leq qx_m+x_r. После деления на nnxnn≤qxmn+xrn=qmnxmm+xrn≤xmm+xrn.\frac{x_n}{n}
\leq
\frac{qx_m}{n}+\frac{x_r}{n}
=
\frac{qm}{n}\frac{x_m}{m}+\frac{x_r}{n}
\leq
\frac{x_m}{m}+\frac{x_r}{n}.
При фиксированном mm индекс rr принимает только значения 1,2,…,m1,2,\ldots,m, поэтому числа xrx_r ограничены, а xrn→0\frac{x_r}{n}\to0. Отсюдаlim‾⁡n→∞xnn≤xmm.\varlimsup_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}\leq\frac{x_m}{m}.Это верно для каждого mm, значит,lim‾⁡n→∞xnn≤lim‾⁡m→∞xmm.\varlimsup_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}
\leq
\varliminf_{m\to\infty}\frac{x_m}{m}.Но всегдаlim‾⁡n→∞xnn≤lim‾⁡n→∞xnn.\varliminf_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}
\leq
\varlimsup_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}.Остается только равенство:lim‾⁡n→∞xnn=lim‾⁡n→∞xnn,\varliminf_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}
=
\varlimsup_{n\to\infty}\frac{x_n}{n},то естьlim⁡n→∞xnn существует.\boxed{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{n}\ \text{существует}.}

Проверка

Кроме того, из xn≥0x_n\geq0 и xn≤nx1x_n\leq nx_1 имеем 0≤xnn≤x10\leq\frac{x_n}{n}\leq x_1, поэтому этот предел конечен.

Что и требовалось доказать

Демидович № 137 — решение