Демидович — задача 140

1. 1
   Пусть $a>0$.
   
   Зафиксируем $0<\varepsilon<a$. Для некоторого $N$ при всех $n>N$$$a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon.$$Обозначим $P=x_1x_2\cdots x_N>0$. Тогда при $n>N$$$P(a-\varepsilon)^{n-N}$$
   <
   x_1x_2\cdots x_n
   <
   P(a+\varepsilon)^{n-N}.После извлечения корня $n$-й степени$$(a-\varepsilon)\left(\frac{P}{(a-\varepsilon)^N}\right)^{1/n}$$
   <
   \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
   <
   (a+\varepsilon)\left(\frac{P}{(a+\varepsilon)^N}\right)^{1/n}.
2. 2
   Для любого постоянного $c>0$ известно, что $c^{1/n}\to1$. Поэтому крайние выражения стремятся соответственно к $a-\varepsilon$ и $a+\varepsilon$, и$$a-\varepsilon$$
   \leq
   \liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
   \leq
   \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
   \leq
   a+\varepsilon.Так как $\varepsilon>0$ произвольно,$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=a.$$Пусть $a=0$.
   
   Зафиксируем $\varepsilon>0$. Для некоторого $N$ при всех $n>N$ выполняется$$0<x_n<\frac{\varepsilon}{2}.$$Снова положим $P=x_1x_2\cdots x_N>0$. Тогда$$0<x_1x_2\cdots x_n<P\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N},$$и после извлечения корня$$0<\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$
   <
   \frac{\varepsilon}{2}
   \left(\frac{P}{(\varepsilon/2)^N}\right)^{1/n}.Множитель в скобках стремится к $1$, поэтому начиная с некоторого номера он меньше $2$. Тогда$$0<\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}<\varepsilon,$$то есть$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=0=a.$$

Что и требовалось доказать