Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 140

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 140

Доказать, что если последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) сходится и xn>0x_n>0, тоlim⁡n→∞x1x2⋯xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Доказательство

Пусть a>0a>0.

Зафиксируем 0<ε<a0<\varepsilon<a. Для некоторого NN при всех n>Nn>Na−ε<xn<a+ε.a-\varepsilon<x_n<a+\varepsilon.Обозначим P=x1x2⋯xN>0P=x_1x_2\cdots x_N>0. Тогда при n>Nn>NP(a−ε)n−N<x1x2⋯xn<P(a+ε)n−N.P(a-\varepsilon)^{n-N}
<
x_1x_2\cdots x_n
<
P(a+\varepsilon)^{n-N}.После извлечения корня nn-й степени(a−ε)(P(a−ε)N)1n<x1x2⋯xnn<(a+ε)(P(a+ε)N)1n.(a-\varepsilon)\left(\frac{P}{(a-\varepsilon)^N}\right)^{\frac{1}{n}}
<
\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
<
(a+\varepsilon)\left(\frac{P}{(a+\varepsilon)^N}\right)^{\frac{1}{n}}.
Для любого постоянного c>0c>0 известно, что c1n→1c^{\frac{1}{n}}\to1. Поэтому крайние выражения стремятся соответственно к a−εa-\varepsilon и a+εa+\varepsilon, иa−ε≤lim inf⁡n→∞x1x2⋯xnn≤lim sup⁡n→∞x1x2⋯xnn≤a+ε.a-\varepsilon
\leq
\liminf_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
\leq
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
\leq
a+\varepsilon.Так как ε>0\varepsilon>0 произвольно,lim⁡n→∞x1x2⋯xnn=a.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=a.Пусть a=0a=0.

Зафиксируем ε>0\varepsilon>0. Для некоторого NN при всех n>Nn>N выполняется0<xn<ε2.0<x_n<\frac{\varepsilon}{2}.Снова положим P=x1x2⋯xN>0P=x_1x_2\cdots x_N>0. Тогда0<x1x2⋯xn<P(ε2)n−N,0<x_1x_2\cdots x_n<P\left(\frac{\varepsilon}{2}\right)^{n-N},и после извлечения корня0<x1x2⋯xnn<ε2(P(ε2)N)1n.0<\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
<
\frac{\varepsilon}{2}
\left(\frac{P}{(\frac{\varepsilon}{2})^N}\right)^{\frac{1}{n}}.Множитель в скобках стремится к 11, поэтому начиная с некоторого номера он меньше 22. Тогда0<x1x2⋯xnn<ε,0<\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}<\varepsilon,то естьlim⁡n→∞x1x2⋯xnn=0=a.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=0=a.В обоих случаяхlim⁡n→∞x1x2⋯xnn=lim⁡n→∞xn.\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\lim_{n\to\infty}x_n.

Что и требовалось доказать

Демидович № 140 — решение | Высшая математика — Профиматика