Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 119

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 119

xn=3(1−1n)+2(−1)n.x_n=3\left(1-\frac1n\right)+2(-1)^n.

Опирается на задачу 89

Решение

Идея

Слагаемое 2(−1)n2(-1)^n принимает два постоянных значения в зависимости от чётности номера, а первая часть 3(1−1n)3\left(1-\frac1n\right) стремится к 33. Поэтому чётная и нечётная подпоследовательности дадут два разных предела. После их вычисления рассмотрим произвольную сходящуюся подпоследовательность, чтобы исключить другие значения.
Два явных частичных предела. Если n=2kn=2k, тоx2k=3(1−12k)+2=5−32k→5.x_{2k}=3\left(1-\frac1{2k}\right)+2
=5-\frac3{2k}\to5.Если n=2k−1n=2k-1, тоx2k−1=3(1−12k−1)−2=1−32k−1→1.x_{2k-1}=3\left(1-\frac1{2k-1}\right)-2
=1-\frac3{2k-1}\to1.Следовательно, 11 и 55 — частичные пределы.

Исключение других пределов. Пусть произвольная подпоследовательность xmjx_{m_j} сходится к LL. Среди индексов mjm_j бесконечно много чётных либо бесконечно много нечётных. Выберем из xmjx_{m_j} соответствующую подподпоследовательность; она стремится к 55 либо к 11. Но по задаче 89 у сходящейся последовательности все подпоследовательности имеют тот же предел LL. Поэтому L∈{1,5}L\in\{1,5\}.

Чётная и нечётная подпоследовательности дают пределы 55 и 11. Произвольная сходящаяся подпоследовательность содержит бесконечную подподпоследовательность одной из этих двух чётностей; по задаче 89 её предел должен сохраниться. Поэтому смешивание чётных и нечётных членов не создаёт нового частичного предела.

Проверка

Множество частичных пределов равно{1,5}.\{1,5\}.