Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 119

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

x_n=3\left(1-\frac1n\right)+2(-1)^n.

Опирается на

Решение

Разобьём члены на две подпоследовательности. При чётных номерах

x_{2k}=5-\frac3{2k}\longrightarrow5,

а при нечётных

x_{2k-1}=1-\frac3{2k-1}\longrightarrow1.

Оба числа являются частичными пределами. Если произвольная подпоследовательность сходится к

L

, среди её индексов бесконечно много номеров хотя бы одной чётности. Выделив их, получим подпоследовательность с тем же пределом

L

, но её предел уже вычислен: это

5

или

1

. Следовательно, множество частичных пределов равно

\{1,5\}