Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 121

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 121

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числаa1,a2,…,ap.a_1,a_2,\ldots,a_p.

Решение

Повторим указанные числа периодически: для k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots и m=1,…,pm=1,\ldots,p положимxpk+m=am.x_{pk+m}=a_m.Тогда каждое ama_m встречается при сколь угодно больших номерах. Подпоследовательность xm,xp+m,x2p+m,…x_m,x_{p+m},x_{2p+m},\ldots постоянна и имеет предел ama_m.
Других частичных пределов нет. В любой бесконечной подпоследовательности хотя бы одно из pp значений встречается бесконечно много раз. Если исходная подпоследовательность сходится, то её предел равен этому значению, поскольку и выделенная из неё постоянная подпоследовательность имеет тот же предел.