Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 121

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 121

Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числаa1,a2,…,ap.a_1,a_2,\ldots,a_p.

Решение

Построим последовательность {xn}\{x_n\}, разбивая множество натуральных индексов nn на pp арифметических прогрессий. Для каждого k∈N0k \in \mathbb{N}_0 и m∈{1,2,…,p}m \in \{1, 2, \dots, p\} определим члены последовательности так:xp⋅k+m=am.x_{p \cdot k + m} = a_m.Выписанная подряд, эта последовательность имеет вид периодически повторяющихся блоков:a1,a2,…,ap,a1,a2,…,ap,a1,…a_1, a_2, \dots, a_p, a_1, a_2, \dots, a_p, a_1, \dotsДля каждого фиксированного mm подпоследовательность {xp⋅k+m}k=0∞\{x_{p \cdot k + m}\}_{k=0}^\infty стационарна и состоит только из элементов ama_m, следовательно, она сходится к ama_m. Значит, все ama_m являются частичными пределами.
Других частичных пределов быть не может: любая сходящаяся подпоследовательность неизбежно должна содержать бесконечно много элементов по крайней мере одной из pp константных подпоследовательностей, а значит, её предел обязан совпадать с одним из ama_m.
Демидович № 121 — решение | Высшая математика — Профиматика