Демидович — задача 93

1. 1
   Оценка хвоста. Пусть $x_n\to a$. Возьмём $\varepsilon=1$. Существует номер $N_0$ такой, что при $n\ge N_0$$$|x_n-a|<1.$$Если потребуется, увеличим этот номер и положим$$N=\max\{N_0,2\}.$$Тогда при $n\ge N$$$|x_n|\le|a|+|x_n-a|<|a|+1.$$Конечный начальный отрезок. Начальный набор$$x_1,x_2,\ldots,x_{N-1}$$непуст и конечен. Положим$$M=\max\{|x_1|,\ldots,|x_{N-1}|,|a|+1\}.$$Для $n<N$ имеем $|x_n|\le M$ по определению $M$, а для $n\ge N$ — по полученной оценке. Следовательно,$$|x_n|\le M$$
   \qquad\text{для всех }n.
2. 2
   Здесь нельзя ограничиться оценкой хвоста: первые члены могут лежать вне выбранной окрестности предела. Их конечное число позволяет взять максимум модулей, а объединение двух оценок даёт одну границу для всех номеров.
   
   Всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.
   
   Альтернативное решение:
   Если последовательность сходится, то с какого-то момента (начиная с номера $N$) все её члены «заперты» в узком $\varepsilon$-"коридоре". Вне этого коридора остаётся лишь конечное число стартовых элементов. А в любом конечном наборе чисел всегда есть самое большое и самое маленькое. Значит, вся последовательность целиком поместится между этим глобальным максимумом и минимумом.
   
   Пусть $\lim_{n \to \infty} x_n = a$. Зафиксируем произвольное $\varepsilon > 0$ (для удобства можно взять $\varepsilon = 1$). По определению предела найдётся такой номер $N$, что для всех $n > N$ выполняется:$$|x_n - a| < 1 \implies a - 1 < x_n < a + 1$$Это означает, что весь бесконечный «хвост» последовательности ограничен сверху числом $a+1$, а снизу - числом $a-1$.
   
   До этого номера $N$ у нас есть ровно $N$ элементов: $x_1, x_2, \ldots, x_N$. Это конечный набор чисел.
3. 3
   Обозначим за $M$ наибольшее из всех стартовых значений и верхней границы хвоста:$$M = \max\{x_1, x_2, \ldots, x_N, a+1\}$$А за $m$ - наименьшее из них и нижней границы хвоста:$$m = \min\{x_1, x_2, \ldots, x_N, a-1\}$$

Что и требовалось доказать