Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 93

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 93

Доказать, что всякая сходящаяся числовая последовательность ограничена.

Доказательство

Оценка хвоста. Пусть xn→ax_n\to a. Возьмём ε=1\varepsilon=1. Существует номер N0N_0 такой, что при n≥N0n\ge N_0∣xn−a∣<1.|x_n-a|<1.Если потребуется, увеличим этот номер и положимN=max⁡{N0,2}.N=\max\{N_0,2\}.Тогда при n≥Nn\ge N∣xn∣≤∣a∣+∣xn−a∣<∣a∣+1.|x_n|\le|a|+|x_n-a|<|a|+1.Конечный начальный отрезок. Начальный наборx1,x2,…,xN−1x_1,x_2,\ldots,x_{N-1}непуст и конечен. ПоложимM=max⁡{∣x1∣,…,∣xN−1∣,∣a∣+1}.M=\max\{|x_1|,\ldots,|x_{N-1}|,|a|+1\}.Для n<Nn<N имеем ∣xn∣≤M|x_n|\le M по определению MM, а для n≥Nn\ge N — по полученной оценке. Следовательно,∣xn∣≤Mдля всех n.|x_n|\le M
\qquad\text{для всех }n.
Здесь нельзя ограничиться оценкой хвоста: первые члены могут лежать вне выбранной окрестности предела. Их конечное число позволяет взять максимум модулей, а объединение двух оценок даёт одну границу для всех номеров.

На рисунке показаны ограниченный хвост последовательности и конечное число начальных членов; вместе они образуют ограниченное множество.рисунок к задаче Демидовича № 93

Что и требовалось доказать