Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 110

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 110

xn=1n−10,2.x_n=\frac1{n-10{,}2}.

Решение

Идея

Число 10,210{,}2 лежит между соседними натуральными числами 1010 и 1111. Поэтому знаменатель n−10,2n-10{,}2 отрицателен при n=10n=10, но уже положителен при n=11n=11. Чем ближе ненулевой знаменатель к нулю, тем больше модуль обратной величины. Поэтому отдельно исследуем конечную отрицательную часть и положительный хвост, а затем рассмотрим поведение при n→∞n\to\infty.
  1. 1
    Отрицательная и положительная части. Имеемxn=1n−10,2.x_n=\frac1{n-10{,}2}.При 1≤n≤101\le n\le10 знаменатель отрицателен. Ближе всего к нулю он находится при n=10n=10:10−10,2=−0,2=−15,10-10{,}2=-0{,}2=-\frac15,поэтомуx10=−5.x_{10}=-5.Следовательно x10x_{10} — наименьший член отрицательной части последовательности.

    При n≥11n\ge11 знаменатель положителен и возрастает. Поэтому положительные члены убывают, а наибольший из них равенx11=10,8=54.x_{11}=\frac1{0{,}8}=\frac54.Следовательно,inf⁡xn=−5,sup⁡xn=54.\inf x_n=-5,
    \qquad
    \sup x_n=\frac54.    Предельное поведение хвоста. Наконец,lim⁡n→∞1n−10,2=0.\lim_{n\to\infty}\frac1{n-10{,}2}=0.Поскольку вся последовательность сходится к нулю,lim inf⁡xn=lim sup⁡xn=0.\liminf x_n=\limsup x_n=0.
  2. 2
    Знаменатель не равен нулю ни при одном натуральном nn, поскольку 10,210{,}2 не является целым числом. Конечная отрицательная часть определяет нижнюю грань, а начало положительного убывающего хвоста — верхнюю. Вместе с тем весь хвост последовательности стремится к нулю, поэтому нижний и верхний пределы совпадают.

Проверка

inf⁡xn=−5,sup⁡xn=54,lim inf⁡xn=lim sup⁡xn=0.\inf x_n=-5,
\qquad
\sup x_n=\frac54,
\qquad
\liminf x_n=\limsup x_n=0.
Демидович № 110 — решение | Высшая математика — Профиматика