Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 125

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 125

Доказать, что из ограниченной последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность xpnx_{p_n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Доказательство

Это формулировка классической теоремы Больцано-Вейерштрасса.
Так как последовательность {xn}\{x_n\} ограничена, все ее члены лежат внутри некоторого отрезка [a,b][a, b].
Разделим отрезок [a,b][a, b] пополам. Хотя бы в одной из половин (назовем ее [a1,b1][a_1, b_1]) содержится бесконечно много членов последовательности. Выберем один из них: xp1∈[a1,b1]x_{p_1} \in [a_1, b_1].
Снова делим [a1,b1][a_1, b_1] пополам, выбираем половину [a2,b2][a_2, b_2] с бесконечным числом членов и берем из нее xp2x_{p_2}, причем номер выбираем так, чтобы p2>p1p_2 > p_1.
Продолжая этот процесс, мы построим систему вложенных отрезков [ak,bk][a_k, b_k] таких, что их длина b−a2k→0\frac{b-a}{2^k} \to 0, и xpk∈[ak,bk]x_{p_k} \in [a_k, b_k].
По лемме о вложенных отрезках существует единственная точка cc, принадлежащая всем отрезкам, причем ak→ca_k \to c и bk→cb_k \to c. Так как ak≤xpk≤bka_k \le x_{p_k} \le b_k, по теореме о зажатой последовательности lim⁡k→∞xpk=c\lim_{k\to\infty} x_{p_k} = c.

Что и требовалось доказать