Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 125

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 125

Доказать, что из ограниченной последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) всегда можно выделить сходящуюся подпоследовательность xpnx_{p_n} (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots).

Доказательство

Поместим все члены ограниченной последовательности в отрезок [a,b][a,b]. Если a=ba=b, она постоянна. Иначе разделим отрезок пополам. Хотя бы одна половина содержит бесконечно много членов с различными номерами; обозначим её I1I_1. Выберем номер p1p_1, для которого xp1∈I1x_{p_1}\in I_1.
Разделим I1I_1 пополам и оставим половину I2I_2 с бесконечным множеством подходящих номеров. Можно выбрать p2>p1p_2>p_1 так, чтобы xp2∈I2x_{p_2}\in I_2. Продолжая, получим вложенные отрезки Ik=[ak,bk]I_k=[a_k,b_k] и строго возрастающие номера pkp_k, для которыхxpk∈Ik,bk−ak=b−a2k.x_{p_k}\in I_k,\qquad b_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}.Левые концы aka_k не убывают, правые bkb_k не возрастают, а длины отрезков стремятся к нулю. По теореме о монотонной ограниченной последовательности их пределы существуют и совпадают. Обозначим общий предел через cc. Из ak≤xpk≤bka_k\le x_{p_k}\le b_k по теореме о зажатой последовательности следует xpk→cx_{p_k}\to c. Искомая подпоследовательность построена.

Что и требовалось доказать

Демидович № 125 — решение | Высшая математика — Профиматика