Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей
Демидович — задача 92
Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.
Задача 92
Если xn→a, то что можно сказать о пределеn→∞limxnxn+1?
Опирается на
Решение
Случай ненулевого предела
При ненулевом пределе можно перейти к пределу частного. При нулевом пределе проверим, что общего ответа нет.По задаче , применённой к подпоследовательности с pn=n+1, сдвиг индекса не изменяет предел:xn+1⟶a.Если a=0, то начиная с некоторого номера xn=0, и по теореме о пределе частногоn→∞limxnxn+1=aa=1.Нулевой предел: отношение может быть даже не определено. Если a=0, из условия не следует, что xn=0 начиная с некоторого номера. Например, для тождественно нулевой последовательности дробь xnxn+1 не определена ни при одном n. Поэтому вопрос о пределе отношения имеет смысл только после дополнительного предположения, что знаменатели отличны от нуля при всех достаточно больших n.
Даже при этом дополнительном предположении однозначного заключения сделать нельзя. Например:xn=n1⟹xnxn+1=n+1n⟶1,тогда какxn=2−n⟹xnxn+1=21.Предел отношения может и не существовать. Действительно, дляxn=2−n(2+(−1)n)имеем xn→0, ноxnxn+1=⎩⎨⎧61,23,n чётно,n нечётно,поэтому отношение колеблется.
Запись 00 обозначает неопределённость, а не число, которое можно сократить. Из одного лишь условия xn→0 нельзя заключить, что отношение соседних членов стремится к единице: существенны скорость стремления к нулю и возможное чередование членов.
При a=0 знаменатель xn действительно отличен от нуля начиная с некоторого номера: достаточно потребовать ∣xn−a∣<2∣a∣. При a=0 сначала требуется проверить, что отношение определено хотя бы на некотором хвосте. Даже после этого приведённые примеры показывают три различные возможности: предел отношения равен 1, равен другому числу или вовсе не существует.