Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 92

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 92

Если xn→ax_n\to a, то что можно сказать о пределеlim⁡n→∞xn+1xn?\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}?

Опирается на задачу 89

Решение

Идея

Сдвиг от xnx_n к xn+1x_{n+1} не меняет предел, поэтому при a≠0a\ne0 числитель и знаменатель отношения стремятся к одному и тому же ненулевому числу. Здесь работает теорема о пределе частного. При a=0a=0 возникает неопределённость вида 00\frac00: сначала нужно убедиться, что отношение вообще определено, а затем проверить, позволяет ли условие установить его предел. Разберём эти случаи отдельно.
  1. 1

    Случай ненулевого предела

    По задаче 89, применённой к подпоследовательности с pn=n+1p_n=n+1, сдвиг индекса не изменяет предел:xn+1⟶a.x_{n+1}\longrightarrow a.Если a≠0a\ne0, то начиная с некоторого номера xn≠0x_n\ne0, и по теореме о пределе частногоlim⁡n→∞xn+1xn=aa=1.\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}
    =\frac{a}{a}=1.    Нулевой предел: отношение может быть даже не определено. Если a=0a=0, из условия не следует, что xn≠0x_n\ne0 начиная с некоторого номера. Например, для тождественно нулевой последовательности дробь xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n} не определена ни при одном nn. Поэтому вопрос о пределе отношения имеет смысл только после дополнительного предположения, что знаменатели отличны от нуля при всех достаточно больших nn.

    Даже при этом дополнительном предположении однозначного заключения сделать нельзя. Например:xn=1n⟹xn+1xn=nn+1⟶1,x_n=\frac1n
    \quad\Longrightarrow\quad
    \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{n}{n+1}\longrightarrow1,    тогда какxn=2−n⟹xn+1xn=12.x_n=2^{-n}
    \quad\Longrightarrow\quad
    \frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac12.    Предел отношения может и не существовать. Действительно, дляxn=2−n(2+(−1)n)x_n=2^{-n}\bigl(2+(-1)^n\bigr)имеем xn→0x_n\to0, ноxn+1xn={16,n чётно,32,n нечётно,\frac{x_{n+1}}{x_n}
    =\begin{cases}
    \dfrac16,&n\ \text{чётно},\\[2mm]
    \dfrac32,&n\ \text{нечётно},
    \end{cases}    поэтому отношение колеблется.

    Методическое уточнение. Запись 00\frac00 обозначает неопределённость, а не число, которое можно сократить. Из одного лишь условия xn→0x_n\to0 нельзя заключить, что отношение соседних членов стремится к единице: существенны скорость стремления к нулю и возможное чередование членов.

    При a≠0a\ne0 знаменатель xnx_n действительно отличен от нуля начиная с некоторого номера: достаточно потребовать ∣xn−a∣<∣a∣2|x_n-a|<\frac{|a|}{2}. При a=0a=0 сначала требуется проверить, что отношение определено хотя бы на некотором хвосте. Даже после этого приведённые примеры показывают три различные возможности: предел отношения равен 11, равен другому числу или вовсе не существует.

Проверка

Если a≠0a\ne0, тоlim⁡n→∞xn+1xn=1.\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n}=1.При a=0a=0 отношение может быть не определено; даже если оно определено начиная с некоторого номера, никакого общего вывода о его пределе сделать нельзя.
Демидович № 92 — решение