Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 130

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 130

Пустьlim⁡n→∞xnyn=0.\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0.Следует ли отсюда, что либо lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, либо lim⁡n→∞yn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=0?

Рассмотреть пример:xn=1+(−1)n2,yn=1−(−1)n2(n=1,2,…).x_n=\frac{1+(-1)^n}{2},\qquad y_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\qquad(n=1,2,\ldots).

Решение

Идея

Нет, из lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n\to\infty} x_n y_n = 0 не следует, что хотя бы одна из последовательностей сходится к нулю. Последовательности могут поочередно принимать нулевые и ненулевые значения.
Разберем предложенный в задаче пример:xn=1+(−1)n2,yn=1−(−1)n2.x_n = \frac{1+(-1)^n}{2}, \qquad y_n = \frac{1-(-1)^n}{2}.Для четных n=2kn=2k: x2k=1x_{2k} = 1, y2k=0y_{2k} = 0.
Для нечетных n=2k−1n=2k-1: x2k−1=0x_{2k-1} = 0, y2k−1=1y_{2k-1} = 1.
Для любого nn в паре (xn,yn)(x_n, y_n) ровно один элемент равен нулю. Значит, произведение xnyn=0x_n y_n = 0 для всех nn, и lim⁡n→∞xnyn=0\lim_{n\to\infty} x_n y_n = 0.
При этом ни {xn}\{x_n\}, ни {yn}\{y_n\} не имеют предела (они состоят из чередующихся 0 и 1).
Демидович № 130 — решение