Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 94

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 94

Доказать, что сходящаяся числовая последовательность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры последовательностей всех трех типов.

Опирается на

Доказательство

Если некоторый член расположен выше предела, верхняя грань достигается на конечном начальном отрезке. Для нижней грани рассуждение симметрично.рисунок к задаче Демидовича № 94

Когда достигается верхняя грань. Пусть xn→ax_n\to a. По задаче последовательность ограничена.
Предположим, что существует номер pp такой, что xp>ax_p>a. Возьмёмε=xp−a2>0.\varepsilon=\frac{x_p-a}{2}>0.Существует N>pN>p такое, что при n≥Nn\ge N∣xn−a∣<ε.|x_n-a|<\varepsilon.Тогдаxn<a+ε=a+xp2<xp.x_n<a+\varepsilon=\frac{a+x_p}{2}<x_p.Следовательно, ни один член хвоста с номером n≥Nn\ge N не может быть максимальным. Максимум всей последовательности совпадает с максимумом конечного набораx1,…,xN−1x_1,\ldots,x_{N-1}и потому достигается.

Когда достигается нижняя грань. Пусть существует номер qq такой, что xq<ax_q<a. Возьмёмε=a−xq2>0.\varepsilon=\frac{a-x_q}{2}>0.Существует N>qN>q такое, что при n≥Nn\ge N весь хвост удовлетворяетxn>a−ε=a+xq2>xq.x_n>a-\varepsilon=\frac{a+x_q}{2}>x_q.Поэтому минимум достигается среди конечного числа начальных членов.

Почему хотя бы один из экстремумов существует. Теперь рассмотрим возможные случаи.
Если существуют члены и выше, и ниже aa, то достигаются обе грани.
Если членов выше aa нет, то xn≤ax_n\le a для всех nn. Если хотя бы один член меньше aa, то по доказанному достигается нижняя граница. Если же ни одного такого члена нет, то xn=ax_n=a для всех nn, и обе грани равны aa и достигаются.
Если членов ниже aa нет, то xn≥ax_n\ge a для всех nn. Если хотя бы один член больше aa, то по первому шагу достигается верхняя граница. Если ни одного такого члена нет, то снова xn=ax_n=a для всех nn, и достигаются обе грани. Таким образом, хотя бы одна из двух точных граней обязательно достигается.

Примеры трёх типов:xn=1nx_n=\frac1nдостигает верхней грани 11, но не достигает нижней грани 00;xn=−1nx_n=-\frac1nдостигает нижней грани −1-1, но не достигает верхней грани 00;xn=(−1)nnx_n=\frac{(-1)^n}{n}достигает обеих граней:inf⁡xn=−1,sup⁡xn=12.\inf x_n=-1,
\qquad
\sup x_n=\frac12.Получено не только существование точных граней, но и их достижение при наличии члена по нужную сторону от предела. Полный разбор оставшихся случаев исключает ситуацию, когда не достигается ни одна грань. В каждом из трёх примеров отдельно видно, какие из чисел inf⁡xn\inf x_n и sup⁡xn\sup x_n входят в саму последовательность.

Сходящаяся последовательность достигает хотя бы одной из своих точных граней; указанные примеры реализуют случаи достижения только верхней, только нижней и обеих граней.

Что и требовалось доказать

Демидович № 94 — решение | Высшая математика — Профиматика