Демидович — задача 94

1. 1
   
   
   Когда достигается верхняя грань. Пусть $x_n\to a$. По задаче 93 последовательность ограничена.
2. 2
   Предположим, что существует номер $p$ такой, что $x_p>a$. Возьмём$$\varepsilon=\frac{x_p-a}{2}>0.$$Существует $N>p$ такое, что при $n\ge N$$$|x_n-a|<\varepsilon.$$Тогда$$x_n<a+\varepsilon=\frac{a+x_p}{2}<x_p.$$Следовательно, ни один член хвоста с номером $n\ge N$ не может быть максимальным. Максимум всей последовательности совпадает с максимумом конечного набора$$x_1,\ldots,x_{N-1}$$и потому достигается.
   
   Когда достигается нижняя грань. Пусть существует номер $q$ такой, что $x_q<a$. Возьмём$$\varepsilon=\frac{a-x_q}{2}>0.$$Существует $N>q$ такое, что при $n\ge N$ весь хвост удовлетворяет$$x_n>a-\varepsilon=\frac{a+x_q}{2}>x_q.$$Поэтому минимум достигается среди конечного числа начальных членов.
   
   Почему хотя бы один из экстремумов существует. Теперь рассмотрим возможные случаи.
3. 3
   Если существуют члены и выше, и ниже $a$, то достигаются обе грани.
4. 4
   Если членов выше $a$ нет, то $x_n\le a$ для всех $n$. Если хотя бы один член меньше $a$, то по доказанному достигается нижняя граница. Если же ни одного такого члена нет, то $x_n=a$ для всех $n$, и обе грани равны $a$ и достигаются.
5. 5
   Если членов ниже $a$ нет, то $x_n\ge a$ для всех $n$. Если хотя бы один член больше $a$, то по первому шагу достигается верхняя граница. Если ни одного такого члена нет, то снова $x_n=a$ для всех $n$, и достигаются обе грани. Таким образом, хотя бы одна из двух точных граней обязательно достигается.
   
   Примеры. Примеры трёх типов:$$x_n=\frac1n$$достигает верхней грани $1$, но не достигает нижней грани $0$;$$x_n=-\frac1n$$достигает нижней грани $-1$, но не достигает верхней грани $0$;$$x_n=\frac{(-1)^n}{n}$$достигает обеих граней:$$\inf x_n=-1,$$
   \qquad
   \sup x_n=\frac12.Получено не только существование точных граней, но и их достижение при наличии члена по нужную сторону от предела. Полный разбор оставшихся случаев исключает ситуацию, когда не достигается ни одна грань. В каждом из трёх примеров отдельно видно, какие из чисел $\inf x_n$ и $\sup x_n$ входят в саму последовательность.

Что и требовалось доказать