Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 103

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 103

xn=1+nn+1cos⁡nπ2.x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos\frac{n\pi}{2}.

Решение

Идея

Множитель nn+1\frac{n}{n+1} меняется плавно и стремится к 11, а косинус повторяет значения 0,−1,0,10,-1,0,1 в зависимости от остатка номера по модулю 44. Поэтому разобьём последовательность на классы остатков. Для каждого класса найдём значения и предел, после чего сравним все классы между собой.
Разбиение на классы остатков по модулю 44. Имеемxn=1+nn+1cos⁡nπ2.x_n=1+\frac{n}{n+1}\cos\frac{n\pi}{2}.Если nn нечётно, тоcos⁡nπ2=0,xn=1.\cos\frac{n\pi}{2}=0,
\qquad x_n=1.Если n=4kn=4k, тоcos⁡nπ2=1,x4k=1+4k4k+1=2−14k+1⟶2.\cos\frac{n\pi}{2}=1,
\qquad
x_{4k}=1+\frac{4k}{4k+1}=2-\frac1{4k+1}\longrightarrow2.Если n=4k+2n=4k+2, тоcos⁡nπ2=−1,x4k+2=1−4k+24k+3=14k+3⟶0.\cos\frac{n\pi}{2}=-1,
\qquad
x_{4k+2}=1-\frac{4k+2}{4k+3}=\frac1{4k+3}\longrightarrow0.Все члены последовательности строго заключены между 00 и 22, а значения можно сделать сколь угодно близкими к обеим границам. Следовательно,inf⁡xn=0,sup⁡xn=2.\inf x_n=0,
\qquad
\sup x_n=2.Частичные пределы равны 00, 11 и 22, поэтомуlim inf⁡xn=0,lim sup⁡xn=2.\liminf x_n=0,
\qquad
\limsup x_n=2.Разбиение по модулю 44 охватывает все натуральные номера. Границы 00 и 22 не достигаются ни одним членом, но к ним стремятся две подпоследовательности. Постоянная подпоследовательность нечётных членов даёт ещё один частичный предел 11, который лежит между ними и потому не влияет на lim inf⁡\liminf и lim sup⁡\limsup.

Проверка

inf⁡xn=0,sup⁡xn=2,lim inf⁡xn=0,lim sup⁡xn=2.\inf x_n=0,
\qquad
\sup x_n=2,
\qquad
\liminf x_n=0,
\qquad
\limsup x_n=2.
Демидович № 103 — решение