Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 115

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 115

xn=cos⁡n2nπ3.x_n=\cos^n\frac{2n\pi}{3}.

Решение

Идея

Основание степени определяется остатком nn при делении на 33. Для номеров, кратных трём, косинус равен 11, а в двух остальных классах он равен −12-\frac12. Поэтому одна подпоследовательность постоянна, а две другие состоят из степеней числа, модуль которого меньше единицы. Исследуем эти случаи отдельно.
Классы остатков по модулю 33. Если n=3kn=3k, тоcos⁡2nπ3=cos⁡(2kπ)=1,\cos\frac{2n\pi}{3}=\cos(2k\pi)=1,поэтомуx3k=1.x_{3k}=1.Если nn не делится на 33, тоcos⁡2nπ3=−12,\cos\frac{2n\pi}{3}=-\frac12,иxn=(−12)n⟶0.x_n=\left(-\frac12\right)^n\longrightarrow0.Таким образом, последовательность имеет два частичных предела: 00 и 11.

При 3∣n3\mid n члены тождественно равны 11. В двух остальных классах основание равно −12-\frac12, и модуль его nn-й степени стремится к нулю. Три рассмотренных класса охватывают все номера, поэтому других частичных пределов нет.

Проверка

lim inf⁡n→∞xn=0,lim sup⁡n→∞xn=1.\liminf_{n\to\infty}x_n=0,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=1.
Демидович № 115 — решение