Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 115

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 115

xn=cos⁡n2nπ3.x_n=\cos^n\frac{2n\pi}{3}.

Решение

Разделим номера по остаткам при делении на 33. Если n=3kn=3k, то cos⁡2nπ3=1\cos\frac{2n\pi}{3}=1 и x3k=1x_{3k}=1. При двух других остатках косинус равен −12-\frac12, поэтому xn=(−12)n→0x_n=\left(-\frac12\right)^n\to0.
Обе группы индексов бесконечны и дают частичные пределы 11 и 00. Других значений косинуса в этой последовательности нет; следовательно,lim‾⁡n→∞xn=0,lim‾⁡n→∞xn=1.\varliminf_{n\to\infty}x_n=0,
\qquad
\varlimsup_{n\to\infty}x_n=1.
Демидович № 115 — решение | Высшая математика — Профиматика