Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 139

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 139

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=+∞,\lim_{n\to\infty}x_n=+\infty,тоlim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=+∞.\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=+\infty.

Доказательство

Идея

Зафиксируем A>0A>0. Из xn→+∞x_n\to+\infty существует номер NN такой, что при n>Nn>N выполняется xn>2Ax_n>2A.
Дляξn=x1+x2+⋯+xnn\xi_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}при n>Nn>N разделим сумму на первые NN членов и хвост:ξn=1n∑i=1Nxi+1n∑i=N+1nxi.\xi_n
=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{N}x_i
+
\frac{1}{n}\sum_{i=N+1}^{n}x_i.Положим C=∑i=1NxiC=\sum_{i=1}^{N}x_i. Поскольку CC не зависит от nn и ∣C∣n→0\frac{|C|}{n}\to0, для достаточно больших nn имеем Cn>−A2\frac{C}{n}>-\frac A2. Одновременно можно потребовать Nn<14\frac{N}{n}<\frac14, то есть n−Nn>34\frac{n-N}{n}>\frac34.

Проверка

Тогда для всех достаточно больших nnξn=Cn+1n∑i=N+1nxi>−A2+1n(n−N)⋅2A=−A2+2An−Nn>−A2+2A⋅34=A.\begin{aligned}
\xi_n
&=
\frac{C}{n}
+
\frac{1}{n}\sum_{i=N+1}^{n}x_i\\
&>
-\frac{A}{2}
+
\frac{1}{n}(n-N)\cdot 2A\\
&=
-\frac{A}{2}
+
2A\frac{n-N}{n}\\
&>
-\frac{A}{2}
+
2A\cdot\frac34\\
&=A.
\end{aligned}Для любого A>0A>0 мы получили ξn>A\xi_n>A начиная с некоторого номера, значит,lim⁡n→∞x1+x2+⋯+xnn=+∞.\boxed{
\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}=+\infty
}.

Что и требовалось доказать