Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 102

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 102

xn=(−1)nn+1+(−1)n2.x_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1+(-1)^n}{2}.

Опирается на задачу 89

Решение

Идея

Множитель (−1)n(-1)^n одновременно входит в оба слагаемых, поэтому при чётных и нечётных номерах формула упрощается по-разному. Выпишем две соответствующие подпоследовательности. Их первые значения дадут глобальные грани, а их пределы — нижний и верхний пределы всей последовательности.
Чётная подпоследовательность. Для чётного номера n=2kn=2k имеем(−1)n=1,(-1)^n=1,поэтомуx2k=12k+1+12=1+12k.x_{2k}=\frac1{2k}+\frac{1+1}{2}=1+\frac1{2k}.Эта подпоследовательность убывает от 32\frac32 к 11.

Нечётная подпоследовательность. Для нечётного номера n=2k−1n=2k-1 имеем (−1)n=−1(-1)^n=-1, и потомуx2k−1=−12k−1+1−12=−12k−1.x_{2k-1}=-\frac1{2k-1}+\frac{1-1}{2}=-\frac1{2k-1}.Эта подпоследовательность возрастает от −1-1 к 00.

Сопоставление глобальных граней и пределов хвостов. Следовательно,inf⁡xn=−1,sup⁡xn=32.\inf x_n=-1,
\qquad
\sup x_n=\frac32.Частичные пределы равны 00 и 11, поэтомуlim inf⁡n→∞xn=0,lim sup⁡n→∞xn=1.\liminf_{n\to\infty}x_n=0,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=1.Обе подпоследовательности исследованы не только на сходимость, но и на монотонность: именно это позволяет определить глобальные inf⁡xn\inf x_n и sup⁡xn\sup x_n. Разбиение по чётности охватывает все номера. Любая сходящаяся подпоследовательность содержит бесконечную чётную или нечётную подподпоследовательность; по задаче 89 её предел совпадает с пределом исходной подпоследовательности. Поэтому других частичных пределов нет, а найденные значения 00 и 11 равны соответственно lim inf⁡xn\liminf x_n и lim sup⁡xn\limsup x_n.

Проверка

inf⁡xn=−1,sup⁡xn=32,lim inf⁡xn=0,lim sup⁡xn=1.\inf x_n=-1,
\qquad
\sup x_n=\frac32,
\qquad
\liminf x_n=0,
\qquad
\limsup x_n=1.
Демидович № 102 — решение