Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 95

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Доказать, что числовая последовательность

x_n

(n=1,2,\ldots)

, стремящаяся к

+\infty

, обязательно достигает своей нижней грани.

Доказательство

Идея

По определению стремления к

+\infty

, для любого заданного сколь угодно большого числа

M > 0

существует такой номер

N

, начиная с которого все члены последовательности становятся строго больше

M

1
Возьмём положительное число $M = |x_1| + 1$ . По определению предела, обязательно найдётся номер $N$ , такой что для всех $n > N$ будет выполняться: $x_n > |x_1| + 1 > x_1.$ Это означает, что ни один из элементов бесконечного «хвоста» (где $n > N$ ) не может быть минимальным во всей последовательности, ведь у нас уже есть $x_1$ , который строго меньше любого из них.
2
Следовательно, нижнюю грань имеет смысл искать исключительно среди начальных элементов: $\{x_1, x_2, \dots, x_N\}$ .
3
Так как это множество состоит из конечного числа элементов, в нём гарантированно существует свой минимум. Этот минимальный элемент и является точной нижней гранью всей последовательности, и он достигается на одном из первых $N$ шагов.

Проверка

Последовательность, стремящаяся к

+\infty

, достигает своей нижней грани.

Что и требовалось доказать