Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 95

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 95

Доказать, что числовая последовательность xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), стремящаяся к +∞+\infty, обязательно достигает своей нижней грани.

Доказательство

Выберем число M>∣x1∣M>|x_1|. Поскольку xn→+∞x_n\to+\infty, найдётся NN, начиная с которого xn>M>x1x_n>M>x_1. Значит, ни один член этого хвоста не может быть наименьшим: уже первый член меньше каждого из них.
Среди оставшихся конечных чисел x1,…,xN−1x_1,\ldots,x_{N-1} есть минимальное. Оно меньше всех членов хвоста и потому является наименьшим членом всей последовательности, то есть её достигаемой нижней гранью.

Что и требовалось доказать

Демидович № 95 — решение | Высшая математика — Профиматика