Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 120

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 120

xn=12[(a+b)+(−1)n(a−b)].x_n=\frac12\bigl[(a+b)+(-1)^n(a-b)\bigr].

Решение

Идея

Формула специально устроена так, что знак перед разностью a−ba-b меняется с чётностью номера. При чётных номерах эта разность прибавляется к a+ba+b, а при нечётных — вычитается. Раскроем оба случая: последовательность окажется чередованием двух постоянных значений, и её частичные пределы станут видны непосредственно.
Разбиение по чётности. Если nn чётно, то (−1)n=1(-1)^n=1, иxn=x_n\mathrel{=}12[(a+b)+(a−b)]=\frac12\bigl[(a+b)+(a-b)\bigr]\mathrel{=}12⋅2a=\frac12\cdot2a\mathrel{=}a.a.Если nn нечётно, то (−1)n=−1(-1)^n=-1, иxn=x_n\mathrel{=}12[(a+b)−(a−b)]=\frac12\bigl[(a+b)-(a-b)\bigr]\mathrel{=}12⋅2b=\frac12\cdot2b\mathrel{=}b.b.Следовательно, чётная подпоследовательность постоянно равна aa, а нечётная — постоянно равна bb.

Последовательность чередует два постоянных значения. Если a≠ba\ne b, каждое из них встречается бесконечно много раз и потому является частичным пределом. При a=ba=b эти значения совпадают, а запись {a,b}\{a,b\} корректно обозначает одноэлементное множество.

Проверка

Множество частичных пределов равно{a,b}.\{a,b\}.Если a=ba=b, это множество состоит из одного числа aa.
Демидович № 120 — решение