Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 112

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 112

xn=(1+1n)n⋅(−1)n+sin⁡nπ4.x_n=\left(1+\frac1n\right)^n\cdot(-1)^n+\sin\frac{n\pi}{4}.

Опирается на задачу 69, задачу 89

Решение

Идея

По задаче 69 первый множитель (1+1n)n\left(1+\frac1n\right)^n стремится к ee. По задаче 89 после выбора номеров одного фиксированного класса остатков его предел остаётся равным ee. В то же время знак (−1)n(-1)^n и значение синуса вместе повторяются через восемь номеров. Поэтому разобьём последовательность на восемь классов остатков, найдём предел в каждом классе и затем выберем среди них наименьший и наибольший.
Предел первого множителя. Обозначимan=(1+1n)n.a_n=\left(1+\frac1n\right)^n.По задаче 69an⟶e.a_n\longrightarrow e.Восемь классов остатков. Значения (−1)n(-1)^n и sin⁡nπ4\sin\frac{n\pi}{4} повторяются с периодом 88. Запишем n=8k+rn=8k+r, где r∈{0,1,…,7}r\in\{0,1,\ldots,7\}. Тогда получаем следующую таблицу пределов:rlim⁡k→∞x8k+r0e1−e+222e+13−e+224e5−e−226e−17−e−22\begin{array}{c|c}
r&\displaystyle\lim_{k\to\infty}x_{8k+r}\\ \hline
0&e\\
1&-e+\dfrac{\sqrt2}{2}\\[1mm]
2&e+1\\
3&-e+\dfrac{\sqrt2}{2}\\[1mm]
4&e\\
5&-e-\dfrac{\sqrt2}{2}\\[1mm]
6&e-1\\
7&-e-\dfrac{\sqrt2}{2}
\end{array}Наибольшее из этих чисел равно e+1e+1, а наименьшее равно −e−22-e-\frac{\sqrt2}{2}.

Общий период знаковой и тригонометрической частей равен 88, поэтому перечисленные классы дают все возможные частичные пределы. Сравниваются именно пределы этих восьми подпоследовательностей после использования результата an→ea_n\to e из задачи 69; ни один класс индексов не пропущен.

Проверка

lim inf⁡n→∞xn=−e−22,lim sup⁡n→∞xn=e+1.\liminf_{n\to\infty}x_n=-e-\frac{\sqrt2}{2},
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=e+1.
Демидович № 112 — решение | Высшая математика — Профиматика