Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 104

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 104

xn=1+2(−1)n+1+3⋅(−1)n(n−1)2.x_n=1+2(-1)^{n+1}+3\cdot(-1)^{\frac{n(n-1)}2}.

Решение

Идея

Оба знака в формуле определяются остатком номера nn при делении на 44. Значит, после четырёх шагов вся комбинация знаков повторяется. Выпишем один полный период: это сразу даст множество всех значений последовательности, а вместе с ним — её грани и пределы хвостов.
Полный период. Вычислим четыре возможных значения:n(mod4)(−1)n+1(−1)n(n−1)2xn11162−1−1−431−100−112\begin{array}{c|c|c|c}
n\pmod4&(-1)^{n+1}&(-1)^{\frac{n(n-1)}2}&x_n\\ \hline
1&1&1&6\\
2&-1&-1&-4\\
3&1&-1&0\\
0&-1&1&2
\end{array}Таким образом, последовательность принимает только значения6,−4,0,26,-4,0,2и каждое из них встречается бесконечно много раз. Поэтомуinf⁡xn=lim inf⁡xn=−4,sup⁡xn=lim sup⁡xn=6.\inf x_n=\liminf x_n=-4,
\qquad
\sup x_n=\limsup x_n=6.Периодичность с периодом 44 гарантирует, что таблица содержит все возможные значения и каждое из них встречается бесконечно много раз. Поэтому наименьшее и наибольшее значения одновременно служат глобальными гранями и пределами соответствующих хвостов.

Проверка

inf⁡xn=−4,sup⁡xn=6,lim inf⁡xn=−4,lim sup⁡xn=6.\inf x_n=-4,
\qquad
\sup x_n=6,
\qquad
\liminf x_n=-4,
\qquad
\limsup x_n=6.
Демидович № 104 — решение