Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 91

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 91

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=a,\lim_{n\to\infty}x_n=a,тоlim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|.

Опирается на

Доказательство

Пусть xn→ax_n\to a. Обратное неравенство треугольника оценивает изменение модуля через изменение самого числа:
0≤∣∣xn∣−∣a∣∣≤∣xn−a∣.0\le\bigl||x_n|-|a|\bigr|\le|x_n-a|.Для любого ε>0\varepsilon>0 из ∣xn−a∣<ε|x_n-a|<\varepsilon при достаточно больших nn следует ∣∣xn∣−∣a∣∣<ε\bigl||x_n|-|a|\bigr|<\varepsilon при тех же номерах. По определению предела ∣xn∣→∣a∣|x_n|\to|a|.

Что и требовалось доказать