Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 91

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 91

Доказать, что еслиlim⁡n→∞xn=a,\lim_{n\to\infty}x_n=a,тоlim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|.

Опирается на задачу 21

Доказательство

Идея

Нужно сравнить не сами числа xnx_n и aa, а ошибки после перехода к модулю. Обратное неравенство треугольника, доказанное в задаче 21(а), как раз говорит, что взятие модуля не увеличивает расстояние:∣∣x∣−∣y∣∣≤∣x−y∣.\bigl||x|-|y|\bigr|\le |x-y|.Подставим в него x=xnx=x_n и y=ay=a; полученная оценка сразу свяжет новый предел с уже известным пределом xn→ax_n\to a.
Количественная оценка. Пусть xn→ax_n\to a. Тогда0<=∣∣xn∣−∣a∣∣≤∣xn−a∣.0 <= \bigl||x_n|-|a|\bigr|\le |x_n-a|.Правая часть стремится к нулю. Следовательно, по теореме о зажатой последовательности∣∣xn∣−∣a∣∣⟶0.\bigl||x_n|-|a|\bigr|\longrightarrow0.Это равносильно равенству∣xn∣⟶∣a∣.|x_n|\longrightarrow|a|.Обратное неравенство треугольника даёт точную оценку новой ошибки через исходную:∣∣xn∣−∣a∣∣≤∣xn−a∣.\bigl||x_n|-|a|\bigr|\le|x_n-a|.Поэтому один и тот же выбор номера, обеспечивающий малость ∣xn−a∣|x_n-a|, обеспечивает и малость расстояния между ∣xn∣|x_n| и ∣a∣|a|.

Проверка

lim⁡n→∞∣xn∣=∣a∣.\lim_{n\to\infty}|x_n|=|a|.

Что и требовалось доказать

Демидович № 91 — решение