Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 98

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности

x_n

(n=1,2,\ldots)

, если:

x_n=\frac{1000^n}{n!}.

Решение

Идея

Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:

\frac{x_{n+1}}{x_n} = \frac{1000^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{1000^n} = \frac{1000}{n+1}

1
Выясним, при каких $n$ следующий член больше или равен предыдущему: $\frac{1000}{n+1} \ge 1 \implies n + 1 \le 1000 \implies n \le 999$ При $n < 999$ отношение строго больше единицы, последовательность возрастает: $x_1 < x_2 < \dots < x_{999}$ .
При $n = 999$ отношение в точности равно единице: $x_{1000} = x_{999}$ .
При $n \ge 1000$ отношение становится строго меньше единицы, начинается монотонное убывание: $x_{1000} > x_{1001} > x_{1002} > \dots$
2
Следовательно, своего наибольшего значения последовательность достигает сразу при двух номерах: $n = 999$ и $n = 1000$ .

Этот наибольший член равен: $x_{999} = x_{1000} = \frac{1000^{1000}}{1000!}$

Проверка

Наибольшими являются два равных члена:

x_{999}=x_{1000}=\frac{1000^{999}}{999!}=\frac{1000^{1000}}{1000!}.