Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 98

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 98

xn=1000nn!.x_n=\frac{1000^n}{n!}.

Решение

Все члены положительны. Для соседних членовxn+1xn=1000n+1.\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{1000}{n+1}.Отношение больше 11 при n<999n<999, равно 11 при n=999n=999 и меньше 11 при n≥1000n\ge1000. Следовательно, последовательность растёт до члена x999x_{999}, затем x1000=x999x_{1000}=x_{999} и далее убывает. Оба наибольших члена равныx999=x1000=1000999999!=100010001000!.x_{999}=x_{1000}
=\frac{1000^{999}}{999!}
=\frac{1000^{1000}}{1000!}.