Раздел I. Введение в анализ — § 2

Демидович § 2. Теория последовательностей

Условия, ответы и подробные решения задач 41–150

Задачи 41–150

110 из 110 с разбором

Теоремы о пределах последовательностей

136–142

Задача 141

Доказать, что если xn>0x_n>0 (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), тоlim⁡n→∞xnn=lim⁡n→∞xn+1xn,\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n},предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует.

Задача 142

Доказать, чтоlim⁡n→∞nn!n=e.\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e.

Опирается на задачу 141

Теорема Штольца и специальные пределы

143–150

Задача 143

Доказать теорему Штольца, если

а) yn+1>yny_{n+1}>y_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots);

б) lim⁡n→∞yn=+∞\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=+\infty;

в) существует lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n},

тоlim⁡n→∞xnyn=lim⁡n→∞xn+1−xnyn+1−yn.\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}
=
\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}.

Задача 144

Найти:а) lim⁡n→+∞n2an(a>1);б) lim⁡n→+∞lg⁡nn.\text{а) }\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{a^n}\quad(a>1);\qquad
\text{б) }\lim_{n\to+\infty}\frac{\lg n}{n}.

Задача 145

Доказать, что если pp — натуральное число, то:а) lim⁡n→∞1p+2p+⋯+npnp+1=1p+1;\text{а) }\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=\frac1{p+1};б) lim⁡n→∞(1p+2p+⋯+npnp−np+1)=12;\text{б) }\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}\right)=\frac12;в) lim⁡n→∞1p+3p+⋯+(2n−1)pnp+1=2pp+1.\text{в) }\lim_{n\to\infty}\frac{1^p+3^p+\cdots+(2n-1)^p}{n^{p+1}}=\frac{2^p}{p+1}.

Задача 146

Доказать, что последовательностьxn=1+12+13+⋯+1n−ln⁡n(n=1,2,…)x_n=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n-\ln n\qquad(n=1,2,\ldots)сходится.

Таким образом, имеет место формула1+12+13+⋯+1n=C+ln⁡n+εn,1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n=C+\ln n+\varepsilon_n,где C=0,577216…C=0{,}577216\ldots — так называемая постоянная Эйлера и εn→0\varepsilon_n\to0 при n→∞n\to\infty.

Задача 147

Найтиlim⁡n→∞(1n+1+1n+2+⋯+12n).\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}\right).

Опирается на задачу 146

Задача 148

Последовательность чисел xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) определяется следующими формулами:x1=a,x2=b,xn=xn−1+xn−22(n=3,4,…).x_1=a,\qquad x_2=b,\qquad x_n=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}2\qquad(n=3,4,\ldots).Найти lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n.

Задача 149

Пусть xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — последовательность чисел, определяемая следующей формулой:x0>0,xn+1=12(xn+1xn)(n=0,1,2,…).x_0>0,\qquad x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac1{x_n}\right)\qquad(n=0,1,2,\ldots).Доказать, что lim⁡n→∞xn=1\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1.

Задача 150

Доказать, что последовательности xnx_n и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), определяемые следующими формулами:x1=a,y1=b,xn+1=xnyn,yn+1=xn+yn2,x_1=a,\qquad y_1=b,\qquad x_{n+1}=\sqrt{x_ny_n},\qquad y_{n+1}=\frac{x_n+y_n}{2},имеют общий пределμ(a,b)=lim⁡n→∞xn=lim⁡n→∞yn\mu(a,b)=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n(арифметико-геометрическое среднее чисел aa и bb).

Задачи 101–110 из 110