Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 96

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 96

xn=n22n.x_n=\frac{n^2}{2^n}.

Решение

Идея

Все члены последовательности положительны, поэтому сравнение соседних членов можно заменить сравнением их отношения с единицей. Если xn+1xn>1\frac{x_{n+1}}{x_n}>1, последовательность на этом шаге возрастает; если отношение меньше 11, она убывает. Найдём номер, на котором знак этого сравнения меняется, и проверим соответствующий член.
  1. 1
    Отношение соседних членов. Дляxn=n22nx_n=\frac{n^2}{2^n}имеемxn+1xn=(n+1)22n+1⋅2nn2=(n+1)22n2.\frac{x_{n+1}}{x_n}
    =\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n^2}
    =\frac{(n+1)^2}{2n^2}.    Неравенство xn+1>xnx_{n+1}>x_n равносильно(n+1)2>2n2,(n+1)^2>2n^2,то естьn2−2n−1<0.n^2-2n-1<0.Для натуральных nn это выполняется при n=1,2n=1,2. Начиная с n=3n=3 имеем(n+1)2<2n2,(n+1)^2<2n^2,поэтому последовательность убывает.
  2. 2
    Следовательно, наибольшим является член с номером 33:x3=3223=98.x_3=\frac{3^2}{2^3}=\frac98.
  3. 3
    Так как все xn>0x_n>0, сравнение дроби xn+1xn\frac{x_{n+1}}{x_n} с единицей действительно равносильно сравнению соседних членов. Граница смены монотонности проверена на натуральных nn: рост продолжается до x3x_3, а начиная с перехода от x3x_3 к x4x_4 последовательность строго убывает.

Проверка

max⁡n≥1xn=x3=98.\max_{n\ge1}x_n=x_3=\frac98.
Демидович № 96 — решение