Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 96

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наибольший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 96

xn=n22n.x_n=\frac{n^2}{2^n}.

Решение

Соседние члены положительны, так что их удобно сравнить по отношению:
xn+1xn=(n+1)22n2.\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{(n+1)^2}{2n^2}.Это отношение больше 11 тогда и только тогда, когда n2−2n−1<0n^2-2n-1<0; среди натуральных nn так бывает при n=1,2n=1,2. Для n≥3n\ge3 отношение меньше 11. Поэтому последовательность растёт до x3x_3, а затем убывает. Её наибольший член равен x3=3223=98x_3=\frac{3^2}{2^3}=\frac98.