Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 123

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 123

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;

б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;

в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;

г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Решение

Пункт а)

Возьмемxn=n.x_n=n.Любая ее подпоследовательность с возрастающими номерами стремится к +∞+\infty, поэтому конечных частичных пределов нет.

Пункт б)

Положимx2k=0,x2k−1=2k−1.x_{2k}=0,\qquad x_{2k-1}=2k-1.Подпоследовательность x2kx_{2k} сходится к 00, а x2k−1→+∞x_{2k-1}\to+\infty. Поэтому единственный конечный частичный предел равен 00, но сама последовательность не сходится.

Пункт в)

Выпишем числа1;1,12;1,12,13;1,12,13,14;…1;\qquad
1,\frac12;\qquad
1,\frac12,\frac13;\qquad
1,\frac12,\frac13,\frac14;\qquad\dotsКаждое число 1m\frac1m встречается бесконечно много раз и поэтому является частичным пределом. Следовательно, частичных пределов бесконечно много.

Пункт г)

Занумеруем все рациональные числа:r1,r2,…r_1,r_2,\ldotsи положим xn=rnx_n=r_n. Возьмем произвольное a∈Ra\in\mathbb R. В интервале(a−1k,a+1k)\left(a-\frac1k,a+\frac1k\right)содержится бесконечно много рациональных чисел, поэтому можно последовательно выбрать индексыp1<p2<…p_1<p_2<\ldotsтак, чтобы∣xpk−a∣<1k.|x_{p_k}-a|<\frac1k.Тогда0≤∣xpk−a∣<1k→0,0\leq|x_{p_k}-a|<\frac1k\to0,следовательно,xpk→a.x_{p_k}\to a.Таким образом, каждое вещественное число является частичным пределом.
Демидович № 123 — решение | Высшая математика — Профиматика