Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 123

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 123

Построить пример последовательности:

а) не имеющей конечных частичных пределов;

б) имеющей единственный конечный частичный предел, но не являющейся сходящейся;

в) имеющей бесконечное множество частичных пределов;

г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число.

Решение

1
Пункт а)
Возьмем $x_n=n.$ Любая ее подпоследовательность с возрастающими номерами стремится к $+\infty$ , поэтому конечных частичных пределов нет.
2
Пункт б)
Положим $x_{2k}=0,\qquad x_{2k-1}=2k-1.$ Подпоследовательность $x_{2k}$ сходится к $0$ , а $x_{2k-1}\to+\infty$ . Поэтому единственный конечный частичный предел равен $0$ , но сама последовательность не сходится.
3
Пункт в)
Выпишем числа $1;\qquad1,\frac12;\qquad1,\frac12,\frac13;\qquad1,\frac12,\frac13,\frac14;\qquad\dots$ Каждое число $\frac1m$ встречается бесконечно много раз и поэтому является частичным пределом. Следовательно, частичных пределов бесконечно много.

Проверка

г) Занумеруем все рациональные числа:

r_1,r_2,\ldots

и положим

x_n=r_n

. Возьмем произвольное

a\in\mathbb R

. В интервале

\left(a-\frac1k,a+\frac1k\right)

содержится бесконечно много рациональных чисел, поэтому можно последовательно выбрать индексы

p_1<p_2<\ldots

так, чтобы

|x_{p_k}-a|<\frac1k.

Тогда

0\leq|x_{p_k}-a|<\frac1k\to0,

следовательно,

x_{p_k}\to a.

Таким образом, каждое вещественное число является частичным пределом.