Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 107

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 107

xn=−n[2+(−1)n].x_n=-n\bigl[2+(-1)^n\bigr].

Решение

Идея

Скобка 2+(−1)n2+(-1)^n принимает два положительных значения: 33 при чётных номерах и 11 при нечётных. Поэтому обе соответствующие подпоследовательности уходят к −∞-\infty. Однако глобальная верхняя грань зависит от первых членов, и её нужно найти отдельно после разбиения по чётности.
Разбиение по чётности. Если nn чётно, тоxn=−n(2+1)=−3n.x_n=-n(2+1)=-3n.Если nn нечётно, тоxn=−n(2−1)=−n.x_n=-n(2-1)=-n.В обоих случаях xn→−∞x_n\to-\infty. Поэтомуinf⁡xn=−∞,lim inf⁡xn=lim sup⁡xn=−∞.\inf x_n=-\infty,
\qquad
\liminf x_n=\limsup x_n=-\infty.Глобальная верхняя грань. Все члены отрицательны. При n=1n=1 имеемx1=−1.x_1=-1.Для нечётных n≥3n\ge3 получаем xn=−n≤−3x_n=-n\le-3, а для чётных nn имеем xn=−3n≤−6x_n=-3n\le-6. Следовательно,sup⁡xn=−1.\sup x_n=-1.Обе подпоследовательности стремятся к −∞-\infty, поэтому и нижний, и верхний пределы равны −∞-\infty. Это не противоречит конечному значению sup⁡xn=−1\sup x_n=-1: верхний предел описывает далёкие хвосты, тогда как точная верхняя грань всей последовательности достигается первым членом.

Проверка

inf⁡xn=−∞,sup⁡xn=−1,lim inf⁡xn=lim sup⁡xn=−∞.\inf x_n=-\infty,
\qquad
\sup x_n=-1,
\qquad
\liminf x_n=\limsup x_n=-\infty.
Демидович № 107 — решение