Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 114

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти

\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n

\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n

, если:

Задача 114

x_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}.

Опирается на задачу 63, задачу 89

Решение

Идея

Чётность номера меняет знак показателя

n(-1)^n

. Поэтому под корнем у чётных членов находится

1+2^n

, а у нечётных —

1+2^{-n}

; эти выражения имеют разные масштабы. Исследуем две подпоследовательности с помощью двусторонних оценок. В обеих пригодится доказанный в задаче 63 предел

2^{\frac1n}\to1

, а в конце мы отдельно убедимся, что других частичных пределов нет.

1
Чётная подпоследовательность. Если $n$ чётно, то $(-1)^n=1$ и $x_n=\sqrt[n]{1+2^n}.$ Поскольку $2^n<1+2^n<2^{n+1},$ после извлечения положительного корня степени $n$ получаем $2<x_n<2^{1+\frac1n}=2\cdot2^{\frac1n}.$ По задаче 63 $2^{\frac1n}\longrightarrow1,$ поэтому по теореме о зажатой последовательности чётная подпоследовательность стремится к $2$ .

Нечётная подпоследовательность. Если $n$ нечётно, то $(-1)^n=-1$ и $x_n=\sqrt[n]{1+2^{-n}}.$ Так как $1<1+2^{-n}<2,$ то $1<x_n<2^{\frac1n}.$ По задаче 63 правая граница стремится к $1$ , следовательно, нечётная подпоследовательность стремится к $1$ .

Полнота списка частичных пределов. Пусть произвольная сходящаяся подпоследовательность $x_{m_j}$ имеет предел $L$ . Среди её индексов бесконечно много чётных или бесконечно много нечётных; выберем соответствующую подподпоследовательность. По задаче 89 она всё ещё стремится к $L$ . Но одновременно это подпоследовательность одной из двух уже исследованных последовательностей, поэтому по той же задаче 89 её предел равен соответственно $2$ или $1$ . Из единственности предела следует $L\in\{1,2\}$ . Значит, других частичных пределов нет: наименьший из них равен $1$ , а наибольший — $2$ .
2
Для обеих подпоследовательностей построены двусторонние оценки, а предел $2^{\frac1n}\to1$ использован с точной ссылкой на задачу 63. Проверка произвольной сходящейся подпоследовательности через задачу 89 показывает не только наличие пределов $1$ и $2$ , но и полноту этого списка.

Проверка

\liminf_{n\to\infty}x_n=1,\qquad\limsup_{n\to\infty}x_n=2.