Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 114

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 114

xn=1+2n(−1)nn.x_n=\sqrt[n]{1+2^{n(-1)^n}}.

Опирается на ,

Решение

Чётная подпоследовательность. Если nn чётно, то (−1)n=1(-1)^n=1 иxn=1+2nn.x_n=\sqrt[n]{1+2^n}.Поскольку2n<1+2n<2n+1,2^n<1+2^n<2^{n+1},после извлечения положительного корня степени nn получаем2<xn<21+1n=2⋅21n.2<x_n<2^{1+\frac1n}=2\cdot2^{\frac1n}.По задаче 21n⟶1,2^{\frac1n}\longrightarrow1,поэтому по теореме о зажатой последовательности чётная подпоследовательность стремится к 22.

Нечётная подпоследовательность. Если nn нечётно, то (−1)n=−1(-1)^n=-1 иxn=1+2−nn.x_n=\sqrt[n]{1+2^{-n}}.Так как1<1+2−n<2,1<1+2^{-n}<2,то1<xn<21n.1<x_n<2^{\frac1n}.По задаче правая граница стремится к 11, следовательно, нечётная подпоследовательность стремится к 11.

Полнота списка частичных пределов. Пусть произвольная сходящаяся подпоследовательность xmjx_{m_j} имеет предел LL. Среди её индексов бесконечно много чётных или бесконечно много нечётных; выберем соответствующую подподпоследовательность. По задаче она всё ещё стремится к LL. Но одновременно это подпоследовательность одной из двух уже исследованных последовательностей, поэтому по той же задаче 89 её предел равен соответственно 22 или 11. Из единственности предела следует L∈{1,2}L\in\{1,2\}. Значит, других частичных пределов нет: наименьший из них равен 11, а наибольший — 22.
Для обеих подпоследовательностей построены двусторонние оценки, а предел 21n→12^{\frac1n}\to1 использован с точной ссылкой на задачу 63. Проверка произвольной сходящейся подпоследовательности через задачу 89 показывает не только наличие пределов 11 и 22, но и полноту этого списка.lim inf⁡n→∞xn=1,lim sup⁡n→∞xn=2.\liminf_{n\to\infty}x_n=1,
\qquad
\limsup_{n\to\infty}x_n=2.