Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 118

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 118

12, 13, 23, 14, 24, 34, 15, 25, 35, 45,….\frac12,\ \frac13,\ \frac23,\ \frac14,\ \frac24,\ \frac34,
\ \frac15,\ \frac25,\ \frac35,\ \frac45,\ldots .

Решение

Идея

В блоке со знаменателем nn записаны все дроби kn\frac{k}{n} с числителями 1,2,…,n−11,2,\ldots,n-1. При росте nn шаг между соседними дробями равен 1n\frac1n и становится всё меньше. Это подсказывает, что частичными пределами должны быть все точки отрезка [0,1][0,1]. Сначала исключим значения вне отрезка, а затем для каждой его точки явно выберем подходящую дробь из очередного блока.
  1. 1
    Необходимое ограничение на предел. Все члены последовательности удовлетворяют неравенству0<xn<1.0<x_n<1.Поэтому любой частичный предел обязан принадлежать отрезку [0,1][0,1].

    Построение подпоследовательности к произвольной точке отрезка. Покажем обратное: каждое число α∈[0,1]\alpha\in[0,1] действительно является частичным пределом.
  2. 2
    Если 0<α<10<\alpha<1, то в блоке со знаменателем nn выберем числительkn=⌊αn⌋.k_n=\lfloor \alpha n\rfloor.Для достаточно больших nn выполняется 1≤kn≤n−11\le k_n\le n-1, а из свойства целой частиαn−1<kn≤αn.\alpha n-1<k_n\le\alpha n.Деля на nn, получаемα−1n<knn≤α.\alpha-\frac1n<\frac{k_n}{n}\le\alpha.Следовательно,knn⟶α.\frac{k_n}{n}\longrightarrow\alpha.
  3. 3
    Для концов отрезка выбираем соответственно1n⟶0,n−1n⟶1.\frac1n\longrightarrow0,
    \qquad
    \frac{n-1}{n}\longrightarrow1.    Итак, каждое число отрезка [0,1][0,1] является частичным пределом, а других быть не может.

    Выбор одного элемента из каждого следующего блока действительно задаёт подпоследовательность исходной последовательности, поскольку сами блоки расположены по возрастанию знаменателей. Для внутренних точек используется целая часть, а концы 00 и 11 строятся отдельно. Неравенство 0<xn<10<x_n<1 исключает все пределы вне отрезка.

Проверка

Множество частичных пределов равно[0,1].[0,1].
Демидович № 118 — решение