Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 99

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 99

xn=n2−9n−100.x_n=n^2-9n-100.

Решение

Идея

Рассмотрим выражение как квадратичную функцию f(n)=n2−9n−100f(n) = n^2 - 9n - 100. График этой функции - парабола ветвями вверх, поэтому своего минимума она достигает в вершине.
Найдем координату вершины:n0=−b2a=92=4.5n_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{9}{2} = 4.5Поскольку номер nn может быть только натуральным числом, наименьшее значение последовательности достигается в ближайших к вершине целых точках, то есть при n=4n = 4 и n=5n = 5.

Подставим оба значения (из-за симметрии параболы они дадут одинаковый результат):x4=42−9⋅4−100=16−36−100=−120x_4 = 4^2 - 9 \cdot 4 - 100 = 16 - 36 - 100 = -120x5=52−9⋅5−100=25−45−100=−120x_5 = 5^2 - 9 \cdot 5 - 100 = 25 - 45 - 100 = -120

Проверка

Следовательно, наименьший член последовательности достигается при двух номерах и равен −120-120.min⁡n≥1xn=−120,\min_{n\ge1}x_n=-120,причём минимум достигается при n=4n=4 и n=5n=5.