Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 99

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти наименьший член последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots), если:

Задача 99

xn=n2−9n−100.x_n=n^2-9n-100.

Решение

Выделим полный квадрат:xn=n2−9n−100=(n−92)2−4814.x_n=n^2-9n-100
=\left(n-\frac92\right)^2-\frac{481}{4}.Среди натуральных nn квадрат (n−92)2\left(n-\frac92\right)^2 минимален при двух равноудалённых от 92\frac92 целых числах n=4n=4 и n=5n=5. Подстановка даёт x4=x5=−120x_4=x_5=-120, и это наименьшее значение последовательности.