Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 109

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Для последовательности xnx_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) найти inf⁡xn\inf x_n, sup⁡xn\sup x_n, lim⁡‾n→∞xn\mathop{\underline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n и lim⁡‾n→∞xn\mathop{\overline{\lim}}\limits_{n\to\infty}x_n, если:

Задача 109

xn=1+nsin⁡nπ2.x_n=1+n\sin\frac{n\pi}{2}.

Решение

Идея

Значения sin⁡nπ2\sin\frac{n\pi}{2} повторяются через четыре номера: 1,0,−1,01,0,-1,0. После умножения на nn эти четыре случая ведут себя по-разному: одна подпоследовательность растёт к +∞+\infty, другая убывает к −∞-\infty, а две остаются равными 11. Выпишем полный цикл и по нему определим грани и пределы хвостов.
Полный период синуса. Рассмотрим номера по модулю 44:x4k+1=1+(4k+1)=4k+2⟶+∞,x4k+2=1,x4k+3=1−(4k+3)=−4k−2⟶−∞,x4k=1.\begin{aligned}
x_{4k+1}&=1+(4k+1)=4k+2\longrightarrow+\infty,\\
x_{4k+2}&=1,\\
x_{4k+3}&=1-(4k+3)=-4k-2\longrightarrow-\infty,\\
x_{4k}&=1.
\end{aligned}Следовательно, последовательность не ограничена ни сверху, ни снизу, и в каждом её хвосте встречаются как сколь угодно большие, так и сколь угодно малые значения.

Четыре класса остатков по модулю 44 рассмотрены полностью. Постоянные подпоследовательности со значением 11 дают ещё один частичный предел, но не меняют крайних предельных значений: две другие подпоследовательности уходят к противоположным бесконечностям.

Проверка

inf⁡xn=−∞,sup⁡xn=+∞,lim inf⁡xn=−∞,lim sup⁡xn=+∞.\inf x_n=-\infty,
\quad
\sup x_n=+\infty,
\quad
\liminf x_n=-\infty,
\quad
\limsup x_n=+\infty.