Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 116

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Найти частичные пределы следующей последовательности:

Задача 116

12, 12, 14, 34, 18, 78,…,12n, 2n−12n,….\frac12,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac34,\ \frac18,\ \frac78,\ldots,
\frac1{2^n},\ \frac{2^n-1}{2^n},\ldots .

Опирается на задачу 89

Решение

Идея

В выписанной последовательности удобно сначала посмотреть на нечётные и чётные места. На нечётных местах стоят убывающие степени 12n\frac1{2^n}, а на чётных — дополнения этих чисел до единицы. Так появятся два частичных предела. Чтобы убедиться, что смешивание двух типов не создаёт нового предела, применим результат задачи 89 к произвольной сходящейся подпоследовательности.
Две естественные подпоследовательности. Для n≥1n\ge1x2n−1=12n,x2n=1−12n.x_{2n-1}=\frac1{2^n},
\qquad
x_{2n}=1-\frac1{2^n}.Поэтомуx2n−1→0,x2n→1.x_{2n-1}\to0,
\qquad
x_{2n}\to1.Значит, 00 и 11 являются частичными пределами.

Исключение других пределов. Пусть теперь некоторая подпоследовательность xmjx_{m_j} сходится к LL. Среди индексов mjm_j бесконечно много чётных или бесконечно много нечётных. В первом случае у xmjx_{m_j} есть подпоследовательность, стремящаяся к 11, во втором — подпоследовательность, стремящаяся к 00. По задаче 89 любая подпоследовательность сходящейся последовательности имеет тот же предел. Поэтому, поскольку вся xmjx_{m_j} сходится, каждая её подпоследовательность должна иметь предел LL. Следовательно, L=1L=1 или L=0L=0.

Нечётная и чётная подпоследовательности действительно дают пределы 00 и 11. Если произвольная выбранная подпоследовательность сходится, то по задаче 89 любая её подподпоследовательность должна сохранять этот предел; именно это исключает третье значение.

Проверка

Множество частичных пределов равно{0,1}.\{0,1\}.
Демидович № 116 — решение