Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 131

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 131

Доказать, что:а) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn;\text{а) }\varliminf x_n+\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_n+y_n)
\leq\varliminf x_n+\varlimsup y_n;б) lim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn.\text{б) }\varliminf x_n+\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_n+y_n)
\leq\varlimsup x_n+\varlimsup y_n.Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства.

Доказательство

Идея

Обозначимan=inf⁡k≥nxk,An=sup⁡k≥nxk,a_n=\inf_{k\geq n}x_k,\qquad A_n=\sup_{k\geq n}x_k,bn=inf⁡k≥nyk,Bn=sup⁡k≥nyk.b_n=\inf_{k\geq n}y_k,\qquad B_n=\sup_{k\geq n}y_k.
Для любого k≥nk\geq n имеемxk≥an,yk≥bn,x_k\geq a_n,\qquad y_k\geq b_n,поэтомуxk+yk≥an+bn.x_k+y_k\geq a_n+b_n.Следовательно,inf⁡k≥n(xk+yk)≥an+bn.\inf_{k\geq n}(x_k+y_k)\geq a_n+b_n.С другой стороны, yk≤Bny_k\leq B_n, поэтомуxk+yk≤xk+Bn,x_k+y_k\leq x_k+B_n,откудаinf⁡k≥n(xk+yk)≤an+Bn.\inf_{k\geq n}(x_k+y_k)\leq a_n+B_n.Переходя к пределу при n→∞n\to\infty, получаемlim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn.\varliminf x_n+\varliminf y_n
\leq\varliminf(x_n+y_n)
\leq\varliminf x_n+\varlimsup y_n.Аналогично, из xk≥anx_k\geq a_n получаемxk+yk≥an+yk,x_k+y_k\geq a_n+y_k,поэтомуsup⁡k≥n(xk+yk)≥an+Bn.\sup_{k\geq n}(x_k+y_k)\geq a_n+B_n.Кроме того,xk+yk≤An+Bn,x_k+y_k\leq A_n+B_n,следовательно,sup⁡k≥n(xk+yk)≤An+Bn.\sup_{k\geq n}(x_k+y_k)\leq A_n+B_n.Переходя к пределу, имеемlim‾⁡xn+lim‾⁡yn≤lim‾⁡(xn+yn)≤lim‾⁡xn+lim‾⁡yn.\varliminf x_n+\varlimsup y_n
\leq\varlimsup(x_n+y_n)
\leq\varlimsup x_n+\varlimsup y_n.

Проверка

Для примера зададим периодические последовательностиxn+4=xn,yn+4=yn,x_{n+4}=x_n,\qquad y_{n+4}=y_n,где(x1,x2,x3,x4)=(0,1,3,2),(y1,y2,y3,y4)=(2,3,1,0).(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,1,3,2),
\qquad
(y_1,y_2,y_3,y_4)=(2,3,1,0).Тогдаlim‾⁡xn=lim‾⁡yn=0,lim‾⁡xn=lim‾⁡yn=3,\varliminf x_n=\varliminf y_n=0,
\qquad
\varlimsup x_n=\varlimsup y_n=3,аxn+yn=(2,4,4,2,…),x_n+y_n=(2,4,4,2,\ldots),поэтомуlim‾⁡(xn+yn)=2,lim‾⁡(xn+yn)=4.\varliminf(x_n+y_n)=2,
\qquad
\varlimsup(x_n+y_n)=4.Таким образом,0<2<3<4<6,\boxed{0<2<3<4<6},то есть все неравенства строгие.

Что и требовалось доказать