Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 129

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Задача 129

Пусть lim⁡n→∞xn=0\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0, и yny_n (n=1,2,…)(n=1,2,\ldots) — произвольная последовательность. Можно ли утверждать, чтоlim⁡n→∞xnyn=0?\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0?Привести соответствующие примеры.

Решение

Идея

Нет, утверждать этого нельзя. Если yny_n растет быстрее, чем xnx_n убывает к нулю, произведение может стремиться к бесконечности или к любой другой константе.
Пример:
Пусть xn=1nx_n = \frac{1}{n}. Очевидно, что lim⁡n→∞xn=0\lim_{n\to\infty} x_n = 0.
Пусть yn=n2y_n = n^2. Эта последовательность расходится.
Рассмотрим их произведение:xnyn=1n⋅n2=n.x_n y_n = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n.Тогда lim⁡n→∞xnyn=+∞≠0\lim_{n\to\infty} x_n y_n = +\infty \neq 0.
Демидович № 129 — решение