Раздел I. Введение в анализ — § 2. Теория последовательностей

Демидович — задача 129

Б. П. Демидович, «Сборник задач и упражнений по математическому анализу». Условие и подробное решение по шагам.

Пусть

\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0

, и

y_n

(n=1,2,\ldots)

— произвольная последовательность. Можно ли утверждать, что

\lim_{n\to\infty}x_ny_n=0?

Привести соответствующие примеры.

Решение

Пример:
Пусть

x_n = \frac{1}{n}

. По результату №42а имеем

\lim_{n\to\infty}x_n=0

.
Пусть

y_n = n^2

. Эта последовательность расходится.
Рассмотрим их произведение:

x_n y_n = \frac{1}{n} \cdot n^2 = n.

Тогда

\lim_{n\to\infty} x_n y_n = +\infty \neq 0